【正文】 ? ?? ? ?? ? ? 11112323 2 133312n??????????????? ???????????????????????11112113233323323233nnnnnnnnn． 9． 若 A 為 n 階對稱矩陣， P 為 n 階矩陣，證明 TPAP 為對稱矩陣． 證 因 為 ( ) ( ) TAAT T T T T T TP A P P A P P A P???，所以 TPAP 為對稱矩陣． 10．利用公式法 求下列矩陣的逆矩陣： （ 1） 3421A ???????． 解 50A?? ? ，又 * 1423A ?????????，所以 1*1AAA? ?? ??????????????5352 5451． （ 2） 1 0 02 1 03 3 1A???????． 解 10A?? ，又 * 1 0 02 1 03 3 1A?????????，所以 1*1AAA? ?? ????????????133012001 ． 21 （ 3） 1 2 22 1 22 2 1A?????????． 解 27 0A ?? ? ，又 * 3AA?? ，所以 1*1AAA? ??A91． （ 4）1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1A??????? ????????． 解 16 0A ?? ? ，又 * 4AA?? ，所以 1*1AAA? ??A41． 11． 解下列矩陣方程： （ 1） ???????? ?????????? 312 12032 21 X． 解 11 2 0 2 1 3 2 0 2 12 3 2 1 3 2 1 2 1 3X? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ????????? ?? ? 152 384． （ 2）設(shè) BAXX ?? ，其中??????????????101111010A ， ???????????111B ． 解 由 BAXX ?? ，得 BXAE ?? )( ．又 03201101011????????????????? AEAE ， 則 AE? 可逆，且 BAEX 1)( ??? ．經(jīng)計算，得 1*0 2 111( ) ( ) 3 2 130 1 1E A E AEA?????? ? ? ? ?????． 所以 BAEX 1)( ??? 0 2 1 11 3 2 1 13 0 1 1 1? ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ?? ?? ??? ?? ???????????001 ． 22 （ 3）1 0 0 0 0 1 3 2 10 0 1 0 1 0 9 8 70 1 0 1 0 0 6 5 4X? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?． 解 111 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 10 0 1 0 0 1 , 0 1 0 0 1 00 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?，則 111 0 0 3 2 1 0 0 10 0 1 9 8 7 0 1 00 1 0 6 5 4 1 0 0X??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???????????987654321 ． 12．設(shè) (1, 2,1)A diag??，且矩陣 B 滿足 * 28A BA BA E??，求矩陣 B ． 解 等式 * 28A BA BA E??兩邊左乘以 A ，得 28A BA ABA A??． 又 20A?? ? ，上式兩邊右乘以 1A? ，得 2 2 8B AB E? ? ? ，即 ( ) 4E A B E??，所以 1 114 ( ) 4 ( , 1 , ) 222B E A d ia g A?? ? ? ? ?． 13． 設(shè) ,ABC 都是 n 階矩陣，證明： ABC 可逆的充分必要條件是 ,ABC 都可逆． 證 ABC 可逆 0 0 0 , 0 , 0A B C A B C A B C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,ABC都可逆． 14． 設(shè) n 階方陣 A 滿足 2 3A A O??，證明 2AE? 可逆，并求 ? ? 12AE?? ． 證 由 2 3A A O??，得 ( 2 )( ) 2A E A E E? ? ?，即 ( 2 ) 2AEA E E???， 所以 2AE? 可逆，且 ? ? 12AE???2EA? ． 15． 設(shè) A 為 n 階矩陣，且 OA?3 ，證明 AE? 及 AE? 都是可逆矩陣． 證 由 2AO? ，得 2( )( )E A E A A E? ? ? ?及 2( ) ( )E A E A A E? ? ? ?，所以 AE?及 AE? 都是可逆矩陣． 16． 已知 A 為三階方陣，且 2A?? ，求： （ 1） ? ?12A? ； （ 2） *A ； （ 3） *112AA??． 23 解 （ 1）原式 131 1 1()22A A?? ? ?161?． （ 2）原式 2A??4 ． （ 3） * 1 1 1 11 1 52 2 2A A A A A A? ? ? ?? ? ? ? ?，有 原式 135 5 1()22A A?? ? ? ? ?16125． 17． 設(shè) 1 2 32 3 13 1 2A???????，求 ? ?1*?A ． 解 18A?? ，則 ? ? 1* AAA? ??18A?． 18． （ 1） 設(shè) 1P AP B? ? ，證明 1kkB P A P?? ． （ 2） 設(shè) PBAP? ，且 1 0 0 1 0 02 1 0 , 0 0 02 1 1 0 0 1PB? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?，求 A 與 2020A ． 證 （ 1） 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )k k kB P A P P A P P A P P P P A P P A P? ? ? ? ? ?? ? ?L． （ 2）由 PBAP? ，得 1A PBP?? ，且 2020 2020 1A PB P?? ．又 1 20 111 0 0 1 0 02 1 0 , 0 0 04 1 1 0 0 1P B B?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?， 所以 2 0 1 1 11 0 02 0 0 ,6 1 1A A P B P A?????? ? ?????． 19． 利用分塊矩陣計算下列矩陣的乘積： （ 1）??????????????????????????????30003200121003013000120010100121． 解 將矩陣進行如下分塊： 24 11221 2 1 0 1 0 3 00 1 0 1 0 1 2 1,0 0 2 1 0 0 2 30 0 0 3 0 0 0 3A E E BO A O B? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， 則原式 1 1 1 1 1 22 2 2 2A E E B A A B BO A O B O A B?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?．又 1 1 2 2 21 2 3 0 2 3 5 1 2 1 2 3 4 9,0 1 2 1 0 3 2 2 0 3 0 3 0 9A B B A B? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以原式1 2 5 10 1 2 20 0 4 90 0 0 9????? ?????． （ 2）????????????????????????????ddccbbaa0000010001100010． 解 將矩陣進行如下分塊： 0 1 0 00 0 1 0,1 0 0 00 1 0 0acacaE E CE bE dEbdbd? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， 則原式 a E E C a C d EE b E d E C b d E?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ???????????????bdccbddacacd． 20． 利用分塊矩陣求下列矩陣的逆矩陣： （ 1） 1 3 01 2 00 0 5???????． 解 將矩陣進行如下分塊： 25 121 3 01 2 00 0 5AOAOA????? ???? ????????， 則 11 112AOA OA?????? ????．又 ? ?1111122313 155 ,51 2 1 1 555AA??????????? ??? ? ? ??? ??? ????????，所以 1A?????????????????? ?51000515105352． （ 2）2 1 0 01 3 0 00 0 3 30 0 4 2????????． 解 將矩陣進行如下分塊： 122 1 0 01 3 0 00 0 3 30 0 4 2AOAOA???????? ???? ????， 則 11 112AOA OA?????? ????．又1111123 1 1 12 1 3 35 5 3 2,1 3 1 2 4 2 2 15 5 3 2AA????? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?，所以 1A????????????????????????????213200213100005251005153． 26 （ 3）2 0 0 0 00 1 2 0 00 1 3 0 00 0 0 2 50 0 0 2 1??????????． 解 將矩陣進行如下分塊： 1232 0 0 0 00 1 2 0 0=0 1 3 0 00 0 0 2 50 0 0 2 1AAAA???????? ?????????????， 則 1 1 1 11 2 3( , , )A d ia g A A A? ? ? ?? ．又 ? ?1111 1 11 2 3151 2 3 2 2 51 882