【正文】 0 0 0 1 1 0 2 0 1 1 0 20 3 5 1 8 0 3 5 1 8 0 0 3 5 1 25 1 0 1 5 4 0 0 1 5 1 0 0 1 5 1? ? ? ?? ? ? ? ? ??? 1 2 3 5 1 2 2150 1 1 5 1? ? ? ? ???． （ 5）121 1 1 11 0 01 0 01 0 0 naaaLLLM M M L ML，其中 0, 1, 2, ,ia i n?? L． 解 原式11 121211 0 0 01 0 01 0 01 0 0iini irrainnaaaa????????? ?? ?? ni ni ii aa1 1)11( ． 4． 利用行列式展開定理， 計算下列行列式： （ 1）1 2 1 40 1 2 11 0 1 30 1 3 1? ． 解 原式0 2 0 1 2 0 1 0 0 10 1 2 1 3 21 2 1 3 2 1 71 0 1 3 1 31 3 1 1 3 10 1 3 1??? ? ? ? ? ? ? ???． （ 2）5487235472856393????????． 9 解 原式0 0 3 0 3 2 3 0 1 4 1 53 2 2 3 1 4 1 53 1 4 4 3 1 4 4 3 1 81 4 3 4 6 63 4 3 0 6 63 4 4 3??? ? ? ? ? ???． （ 3）12310 0 0 10 0 0 00 0 0 00 0 0 01 0 0 0nnaaaaa?LLLM M M M MLL． 解 原式12213110 0 0 1000 0 000( 1 ) 0 0 0000 0 0nnnnaaaaaaa???? ? ? 231 1 ( 1 )1210000( 1 ) ( 1 )00nnnnaa a a aa? ? ??? ? ? ? 2 3 1 1 2nna a a a a a?? ? ? 2 3 1 1( 1)nna a a???． （ 4）2 1 0 0 01 2 1 0 00 1 2 0 00 0 0 2 10 0 0 1 2nD ?LLLM M M M MLL． 解 將行列式按第一行展開，得 122n n nD D D????，則 1 1 2 2 1 21 2112n n n nD D D D D D? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以 1 2 11 2 ( 1 ) 1n n nD D D D n n??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?． 5．利用行列式 展開定理證明：當 ??? 時，有 10 110 0 01 0 00 1 0 00000 0 0 1nnnD? ? ? ?? ? ? ??? ????? ? ? ???????? ??????LLLM M M O M MLL． 證 將行列式按第一行展開，得 12()n n nD D D? ? ? ???? ? ?，則 21 1 2 2 3( ) ( )n n n n n nD D D D D D? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? 2 2 221( ) [ ( ) ( ) ]n n nDD? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以 1 nnnDD?????． （ 1） 由 nD 關于 ? 與 ? 對稱，得 1 nnnDD?????． （ 2） 由（ 1）與（ 2）解得 11nnnD ???????? ? ． 6． 利用范德蒙德行列式計算行列式 2 2 2a b ca b cb c a c a b???． 解 原式 2 2 22 2 21 1 1( ) ( )1 1 1abca b c a b c a b c a b cabc? ? ? ? ? ? ( ) ( ) ( ) ( )a b c b a c a c b? ? ? ? ? ?． 7．設2 1 4 21 1 2 53 1 3 35 1 1 1D ? ? ，試求 14 24 34 44A + A + A + A和 1 1 1 2 1 3 1 4M + M M M??． 解 14 24 34 44A +A +A +A 0?； 1 1 1 2 1 3 1 4 1 1 1 2 1 3 1 41 1 1 11 1 2 5+3 1 3 35 1 1 1M M M M A A A A??? ? ? ? ? ? ? ? 11 0 1 0 0 2 3 4 6 5 02 1 3 4 6 52 4 2 2 4 2 2 8 42 1 4 2 6 26 2 0 6 2 06 1 2 0? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ． 8． 利 用克拉默法則解下列線性方程組： （ 1）1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 45,2 4 2 ,2 3 5 2 ,3 2 1 1 0 .x x x xx x x xx x x xx x x x? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? 解 經計算，得 1 2 3 41 4 2 , 1 4 2 , 2 8 4 , 4 2 6 , 1 4 2D D D D D? ? ? ? ? ? ? ? ?，所以方程組的解為 1,3,2,1 4321 ????? xxxx ． （ 2）1 2 3 42 3 41 2 42 3 42 3 4 1 1,3,3 0 ,7 3 5 .x x x xx x xx x xx x x? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ?? 解 經計算，得 1 2 3 416 , 16 , 0 , 32 , 16D D D D D? ? ? ? ? ?，所以方程組的解為 1,2,0,1 4321 ????? xxxx ． 9．試問 ? 取何值時，齊次線性方程組 1 2 31 2 31 2 32 3 0,3 4 7 0,20x x xx x xx x x?? ? ???? ? ???? ? ? ??有非零解． 解 方程組有非零解，則 0D? ．又 2 1 33 4 7 5 ( 3 )12D ???? ? ? ? ??， 所以 3??? ． 10．試問 ? 、 ? 取何值時，齊次線性方程組 1 2 31 2 31 2 30,0,20x x xx x xx x x???? ? ???? ? ???? ? ??有非零解． 解 方程組有非零解，則 0D? ．又 111 1 (1 )1 2 1D?? ? ??? ? ?， 所以 1?? 或 0?? ． 12 （ B） 1．選擇題： （ 1）設 1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 30a a aa a a aa a a??，則11 13 12 1221 23 22 2231 33 32 3212 5 3312 5 3312 5 33a a a aa a a aa a a a??? ? ???( )． （ A） 2a （ B） 2a? （ C） 3a? （ D） 3a 解 原式 1 2 33 22311 13 12 1211 12 1321 23 22 22 21 22 2325( 3 ) 331 32 3331 33 32 321 53112 ( 3 ) 5 6 ( ) 2331 53c c cc ccca a a aa a aa a a a a a a aa a aa a a a???? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ??． 選（ A） ． （ 2）四階行列式11223344000000ababbaba的值等于（ ）． （ A） 1 2 3 4 1 2 3 4a a a a b b b b? （ B） 1 2 3 4 1 2 3 4a a a a b b b b? （ C） ? ?? ?1 2 1 2 3 4 3 4a a b b a a b b?? （ D） ? ?? ?2 3 2 3 1 4 1 4a a b b a a b b?? 解 將行列式的第 4行依次與第 3行、第 2行交換，再將行列式的第 4列依次與第 3列、第 2列交換，得 ? ? ? ?111144222 3 2 3 1 4 1 42233334400000000000000ababbaab a a b b a a b babbababa? ? ? ?． 選（ D） ． （ 3）設線性方程組 1 1 1 1 2 2 12 1 1 2 2 2 20, x a x ba x a x b? ? ??? ? ? ??若 11 1221 221aaaa? ， 則方程組的解為（ ）． （ A） 1 1 2 1 1 1122 2 2 2 1 2,b a a bxxb a a b?? （ B） 1 1 2 1 1 1122 2 2 2 1 2,b a a bxxb a a b? ? ? ? 13 （ C） 1 1 2 1 1 1122 2 2 2 1 2,b a a bxxb a a b? ? ? （ D） 1 1 2 1 1 1122 2 2 2 1 2,b a a bxxb a a b? ? ? 解 將方程組寫成標準形式： 1 1 1 1 2 2 12 1 1 2 2 2 2,.a x a x ba x a x b? ? ??? ? ? ??有 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1122 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 21 , ,a a b a b a a b a bD D Da a b a b a a b a b? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?， 所以方程組的解為 1 1 2 1 1 112122 2 2 2 1 2,b a a bDDxxb a a b? ? ? ? ?． 選（ C）． （ 4）方程 ()fx= 2 2 2 23 3 3 31 1 1 10x a b cx a b cx a b c?的根的個數為（ ）． （ A） 1 （ B） 2 （ C） 3 （ D） 4 解 方法一：將 ()fx按第 1列展開，知 ()fx為 3次多項式，因此有 3個根．選（ C）． 方法二： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x a x b x c x b a c a c b? ? ? ? ? ? ?有 3個根 1 2 3,x a x b x c? ? ?． 選（ C）． 2．計算四階行列式12124121200000000aabbDccdd? ． 解 1 2 1 21 2 1 241 2 1 21 2 1 20 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0a a a ac c c cDb b b bd d d d? ? ? 1 2 1 21 2 1 2a a b bc c d d? ? ? ))(( 12211221 dbdbcaca ?? ． 14 3．計算四階行列式 41 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1xxDxx??? ? ????? ? ?． 解 41 1 1