【正文】 們假設粒子自左向右運動 .當 x 為很大的正值時 , 波函數(shù)應該描述越過 “ 壁頂 ” 并沿 x 軸的正方向運動的一個粒子 , 它的漸近形式必然是 22 , ( 0 )ik xB e x? ?? () 即取 0b?? . 由 0x? 處的邊界條件 : ? ? ? ? 0201 ?? ? xx ?? , () 0201?? ?????????????xx dxddxd ?? () 我們有 , ( 0)A A B x?? ? ? () 1 1 2 , ( 0)k A k A k B x?? ? ? () ()和 ()兩式給出透射波 和反射波振幅與入射波振幅之間的關系 如下 : 1212kkAA k k? ?? ? () 1122kBA k k? ? () 晉中學院本科生畢業(yè) (設 計 )論文 7 由這兩 式可以求出透射波和反射波的幾率密度與入射 波幾率密度之比 . 將入射波 1ikxAe 、透射波 1ikxBe 和反射波 1ikxAe?? 依次代換 下式 ? ?**2iJ ? ? ? ??? ? ? ? 中的 ? ,得入射波的幾率流密度為 ? ? ? ?1 1 1 1 212 i k x i k x i k x i k x**i d d kJ A e A e A e A e Ad x d x??????? ? ????? 透射波的幾率流密度為 22D kJB?? 反射波的 幾率流密度為 21R kJA? ??? 透射波的 幾率流密度與入射波的幾率流密度之比稱為透射系數(shù) ,以 D 表示 .這個比值也就 是貫穿到 0x? 區(qū)域的粒子在單位時間內(nèi)流過垂直于 x 方向的單位面積的數(shù)目 ,與入射粒子 (在 0?x 區(qū)域 )單位時間內(nèi)流過垂直于 x 方向的單位面積的數(shù)目之比 .由上面的結果 ,有 ? ?22 1 221 124DJ k B k kD J k A kk? ? ? ? () 反射波幾率流密度與入射波幾率流密度之比稱為反射系數(shù) ,以 R 表示 .由上面結果 ,有 ? ?2122212411R AJ k kRDJkkA?? ? ? ? ? ?? () 由上兩式可見 ,D 和 R 都小于 1,D 和 R 之和等于 0x? 區(qū)域 ,另一部分被勢壘反射回去 .為畫出粒子分布的幾率密度圖 ,我們令入射波的振幅 1A? ,得到 1112112 , ( 0 )i k x i k xkke e xkk? ??? ? ?? () 212122 , ( 0 )i k xk exkk? ??? () 粒子的幾率密度分布 如 圖 所示 .要注意當 12kk? , 即 0 0U? 時 ,勢壘消失 ,因此 反射為零 ,透射系 數(shù) 1D? .此時 只有 入 射波而 沒有反射波 ,在 0x? 、 0x? 的區(qū)域粒子分布的幾率密度相同 ,如圖 所示 . 晉中學院本科生畢業(yè) (設 計 )論文 8 0EU? 的情況 此時我們只要令 22ki?? , ? ?2 0 222k E U i? ?? ? ? ? ?2022 UE?? ?? () 則我們得到 : 111 , ( 0 )i k x i k xA e A e x? ??? ? ? () 222 , ( 0 )xxB e B e x??? ? ?? ? ? () 由于當 x?? 時 ,波函數(shù)應該保持有限 ,所以應取 ()中的 0B?? .因此有 12kiAA k i??? ?? ? () 1122kBA k i?? ? () 此時反射系數(shù)為 : 2 2122121R AJ k iR J k iA ??? ?? ? ? ?? () 透射系數(shù)為 : 22 10DBJDRJA? ? ? ? ? () 與經(jīng)典力學不同的是 ,雖然透射系數(shù)為零 ,但在 0x? 區(qū)域找到粒子的幾率并不為零 .如果我們?nèi)?1A? ,則可將波函數(shù)寫作 : 1112112, ( 0 )i k x i k xkie e xki ?? ? ??? ? ?? () 圖 設 1 2k? , 2 2k? , 粒子幾率密度圖 . 圖 設 1 2k? , 2 1k? , 粒子幾率密度圖 . 對于兩個圖并排情況 ,注意兩圖要對齊 ,說明文字也要對齊 ,圖的版式采用上下型 . 晉中學院本科生畢業(yè) (設 計 )論文 9 212122 , ( 0 )xk exki ?? ? ???? () 從 ()可以看出雖然入射波與反射波的振幅相同 ,反射系數(shù)為 1,但由于 /AA? 為一復數(shù) ,所以反射波相對于入射波有一相移因子 .這與經(jīng)典力學無共同之處 ,但與光在金屬表面反射時的情況類似 .造成 這種原因是因為粒子進入了 0x? 區(qū)域延誤所 致 . 由 ()和 ()式我們可以畫出在 0x? 和 0x? 區(qū)域中找到粒子的幾率密度 曲線 .從圖中可以明顯的看出 ,在 0x? 找到粒子的幾率 隨著 x 的增加而指數(shù)衰減 ,在 21/x ?? 的區(qū)域內(nèi) ,找到粒子的幾率幾乎可以忽略不計 .值得注意的是由于反射波的振幅與入射波的振幅相同 ,所以入射波與反射波在 0x? 的區(qū)域中發(fā)生干涉 ,使得一些點 2 0? ? ,這是干涉相消的結果 .這與 0EU? 時的情況不同 ,因為在 0EU? 時入射波的強度大于反射波的強度 ,干涉相消的結果只使 0x? 的區(qū)域中的一些點 的幾率密度取極小值 ,另一點取極大值 ,但不會完全為零 .當然當 2 0k ? 時 ,反射波的振幅接近入射波的振幅 ,因而那些取極小值的點將趨于零 . 0U ?? 的情況 當勢壘高度趨于無窮大時 ,即 0U?? 時的解 ,可以由 0EU? 的情況中令2??? 得到 : 212lim 1kiAA k i? ????? ?? ? ?? () 21122lim 0kBA k i? ?????? () 此時反射系數(shù)為 : 圖 設 1 2k? , 2 1?? , 粒子幾率密度圖 . 圖 設 1 2k? , 2 ?? , 粒子幾率密度圖 . 晉中學院本科生畢業(yè) (設 計 )論文 10 221212lim 1RJ k iR J k i? ???? ?? ? ?? () 透射系數(shù)為 : 2lim 1 0DJDRJ? ??? ? ? ? () 如果我們令 1A? ,則可將波函數(shù)寫成如下形式 : 111 , ( 0 )ik x ik xe e x? ?? ? ? () 2 0 , ( 0)x? ?? () 值得注意的是 ,由 ()和 ()式給出的波函數(shù) 1? 和 2? ,在 0x? 點處波函數(shù)連續(xù) ,但波函數(shù)的導數(shù)并不連續(xù) .這是因為在 0U?? 時 ,在 ()式中 221( ) ( ) ( )k n x d x??? ? ? ? ?????? ? ? ? ? 右端的積分在 0?? 時 ,由于 ()nx?? 并不等于零 .所以在這種情況下 ,波函數(shù)仍然保持連續(xù)但波函數(shù)的導數(shù)卻不在連續(xù) . 我 們可以由方程 ()和 ()給出的波函數(shù) 1? 和 2? ,繪出在 0x? 和 0x? 區(qū)域 找到粒子的幾率曲線圖 ,相位相差 ? ,顯然在0x? 區(qū)域 中入射波與反射波干涉相消會使得一些點的幾率密度為零 . 實際上 0U?? 時所給出的粒子幾率分布曲線圖 ,是在 0EU? 時 2??? 的極限情況 .為了說明這一點 ,我們利用方程 ()和 ()分別取 2? 為 2 、 10 和 1000 畫出圖、 圖 和圖 2 10?? 時與圖 已經(jīng)很接近 ,而當 2? 取 1000 時圖 與圖 已經(jīng)無法區(qū)別 .從這里可以理解實際上所謂 0U?? 的情況實際上是勢壘比粒子能量高的多時的一種理想近似 . 圖 當 0U?? ,取 1 2k? , 2??? 時的粒子幾率密度圖 . 圖 當 0EU? ,取 1 2k? , 2 2?? 時的粒子幾率密度圖 . 晉中學院本科生畢業(yè) (設 計 )論文 11 圖 當 0U?? ,取 1 2k? , 2 10?? 時的粒子的幾率密度圖 . 圖 當 0EU? ,取 1 2k? , 2 1000? ? 時的粒子幾率密度圖 . 晉中學院本科生畢業(yè) (設 計 )論文 12 3 方形 勢壘散射 模型與方程 考慮在一維空間中運動的粒子 ,它的勢能在有限區(qū)域 ? ?0 xa?? 內(nèi)等于常量? ?000 ?UU ,而在這個區(qū)域外等于零 ,即 ? ?? ? ax,xxU ax,UxU ??? ??? 00 00 () 我們稱這種勢為方勢壘 ?圖 ?.具有一定能量 E 的粒子由勢壘左方 ? ?0?x 向右方運動 . 粒子的波函數(shù) ? 所滿足的定態(tài)薛定諤方程是 ? ?ax,x,Edxd ???? 002 222 ??? ? () 和 ? ? ? ?2 0222 0 , 0d E U x adx ?? ?? ? ? ? ? () 同第二章一樣我們分兩種情況分別進行討論 . 0EU? 情況 與 ()式一樣我們定義 1k 和 2k 將 方程 ()和 ()改寫為 ? ?ax,x,kdxd ???? 002122 ?? () 和 ? ?2 222 0 , 0d k x adx? ?? ? ? ? () 此處 21k,k 都是大于零的實數(shù) . 在 0?x 區(qū)域內(nèi) ,波函數(shù) xikxik eAAe 111 ????? () 是方程 ()的解 . 在 ax??0 區(qū)域內(nèi) ,方程 ()的解是 xikxik eBBe 222 ????? , () 在 ax? 區(qū)域內(nèi) ,方程 ()的解是 ()Ux0UO ax圖 一維方勢壘 晉中學院本科生畢業(yè) (設 計 )論文 13 xikxik eCCe 113 ????? () 按照公式 () ? ? ? ?, iE tx t x e?? ?? 定態(tài)波函數(shù)是 321 ??? , 再分別乘上一個含時間因子 Etie?? . 由此看出 ()— () 三式右邊第一項是由左向右傳播的平面 波 ,第二項是 由右向左傳播的平面波 .在 ax?區(qū)域內(nèi) ,沒有由右向左運動的粒子 ,因而只應有向右傳播的透射波 ,不應有向左傳播的波 ,所以在 ()式中必須令 0??C () 在 0?x 和 ax? 均可以用波函數(shù)和波函數(shù)導數(shù)的連續(xù)條件 ()和 ()來確定函數(shù)中的其它系數(shù) .由 ? ? ? ? 0201 ?? ? xx ?? ,我們有 BBAA ????? 由0201?? ?????????????xx dxddxd ?? 有 BkBkAkAk ????? 2211 由 ? ? ? ? axax ?? ? 32 ?? ,有 aikaikaik CeeBBe 122 ??? ? 由032?? ?????????????xax dxddxd ?? 有 aikaikaik CekeBkBek 122 122 ??? ? 解這一組方程組 ,可以得出 A,C? 和 A 的關系是 ? ? ? ? Aekkekk ekkC aikaik aik 22 1 221221 214 ???? ? ? () ? ?? ? ? ?22221 2 2221 2 1 22 s i ni k a i k ai k k a kAAk k e k k e ??? ?? ? ? () ()