數(shù)學(xué)畢業(yè)論文_淺談數(shù)列求和的若干方法-全文預(yù)覽
【正文】 ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 11 2 2 1 1 2na n n n n n n n??? ? ???? ? ? ? ??? 例 9 求數(shù)列)12)(12( )2(,75 6,53 4,31 22222????? nn n?的前 n 項(xiàng)和 nS 分析：該數(shù)列的分子是偶數(shù)的平方，分母是奇數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的乘積，用分子湊分母的方法，化簡(jiǎn)分式，然后再拆項(xiàng)，有 解：nnnnnnnnnSn ????????????????????????????? )]12 112 1()5131()311[(21)]12 112 1(211[)]5131(211[)]3111(211[)12)(12( )2(53 431 2 222 ???).12 112 1(211)12)(12( 11)12)12( 11)2()12)(12( )2( 22 ??????????? ????? nnnnnn nnn n內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)年論文 8 + 12 )1(2)12 11(21 ????? nnnn 例 10 求和 ??? ??個(gè)nnS 3333 3 3333 ????? 解： ??? ??個(gè)nn 3333 3 3333S ????? = ）（個(gè) ?????n99999 999993 ???? = )]110110110110[93 32 ???????? n（）（）（）（ ? = 3)110(2710]10101010[93 32 nn nn ???????? ? 8 逐差法 針對(duì) 一類高階等差數(shù)列求和的問題 .某些數(shù)列的 構(gòu)成規(guī)律不十分明顯 .我們可以逐次求出它的各階差數(shù)列，如果某一階差數(shù)列正好是等差數(shù)列或者為等比數(shù)列，那么可以利用這些數(shù)列的有限和得出原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，然后再求出其前 n 項(xiàng)和 nS . 例 11 求數(shù)列 5, 6,9,16,31, 62的前 n 項(xiàng)和 nS 考慮數(shù)列的各差數(shù)列： 原數(shù)列： 5,6,9,16,31,62 一階差數(shù)列： 1,3,7,15,31 二階差數(shù)列： 2,4,8,16 由于二階差數(shù)列是等比數(shù)列，可用逐差法求數(shù)列的通項(xiàng)，然后再求出其前 n 項(xiàng)和nS . 解：設(shè)原數(shù)列為 ??na ，一階差數(shù)列為 ??nb ，二階差數(shù)列為 ??nc 那么 2 1 1b b c?? 3 2 2b b c?? 4 3 3b b c?? 內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)年論文 9 11n n nb b c???? 以上 1n? 個(gè)式子相加，有 1 1 2 3 1nnb b c c c c ?? ? ? ? ? ? 12 4 8 1 6 2n?? ? ? ? ? ? ? ?12 1 2 2212n n??? ? ?? 因?yàn)?1 1b? ，所以 2 2 1 2 1nnnb ? ? ? ? ? 又 2 1 1a a b?? 3 2 2a a b?? 4 3 3a a b?? 11n n na a b???? 所以 ? ?111 1 2 3 1 2 1 2 1nn mnn n mmma a b b b b b n??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 2 1 5 2 4nnna n n? ? ? ? ? ? ? 數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和為 ? ?1 1 12 4 2 4n n nmmn m m mS m m n? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?2 1 2 1 41 2 2n nn n? ?? ? ?? ? ?1 7222n nn? ?? ? ? 9．組合數(shù)法 原數(shù)列各項(xiàng)可寫成組合數(shù)的形式，然后再利用公式 1 1m m mn n mC C C? ???求解 . 內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)年論文 10 例 12 求 1， 12? ， 1 2 3??， ， 1 2 3 n? ? ? ? 由 ? ? 2111 2 3 12 nn n n C ?? ? ? ? ? ? ?知可以利用“組合數(shù)法”求和 解 ? ? ? ? ? ?1 1 2 1 2 3 1 2 3nSn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?11 3 6 2nn ?? ? ? ? ? 2 2 2 22 3 4 1nC C C C?? ? ? ? ? 3 2 2 23 3 4 1nC C C C?? ? ? ? ? ? 32nC?? ? ?? ?1 126 n n n? ? ? 10． 導(dǎo)數(shù)求和法 通過對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)進(jìn)行聯(lián)想，合理運(yùn)用逆向思維，由求導(dǎo)公式 1/)( ?? nn nxx ，可聯(lián)想到它們是另外一個(gè)和式的導(dǎo) 數(shù) .關(guān)鍵要抓住數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特征 . 例 13 求和： )0(321 12 ?????? ? xnxxxS nn ? 解：當(dāng) x =1 時(shí)， Sn=1+2+3+? +n = 2n)n(1? 當(dāng) ?x 1 時(shí)， ,1 132 xxxxxxx nn ??????? ?? 兩邊都是關(guān)于 x 的函數(shù)，求導(dǎo)得 （ ,)1() /1/32 xxxxxxx nn ??????? ?? 即 .)1( )1(1321 2112x nxxnnxxxSnnnn ? ???????????? 內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)年論文 11 11． 數(shù)學(xué)歸納法
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