高中數(shù)學(xué)經(jīng)典題一題多解(一)：函數(shù)導(dǎo)數(shù)一題多解---23題59解-全文預(yù)覽
【正文】 令，由對號函數(shù)的單調(diào)性，在單調(diào)遞減，當(dāng)時，從而，所以當(dāng)，即時，恒成立，從而為增函數(shù)，所以恒成立；當(dāng)時，所以存在，使得當(dāng)時，從而為減函數(shù)，所以，不合題意.同理可討論當(dāng)時，仍然是時，恒成立，從而為增函數(shù)，所以恒成立；當(dāng)時，所以存在，使得當(dāng)時，從而為減函數(shù)，所以，不合題意.綜上，．第14題 一道含有l(wèi)nx的高考題的3種解法已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程； （2）若當(dāng)時，求的取值范圍. 解：（1）的定義域為.當(dāng)時，又所以曲線在處的切線方程為（2） 解法一：分離法當(dāng)時，等價于，設(shè)，因為方程的判別式（i）當(dāng)且時， ，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，因此，即恒成立.（ii）當(dāng)時，令得的兩根為：.顯然，又因為得，故當(dāng)時，即，所以在單調(diào)遞減，因此.綜上所述，的取值范圍是解法二：二次求導(dǎo)法因為設(shè)則（1）當(dāng)時，所以，在是增函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，.故成立.（2）當(dāng)時，令得所以當(dāng)時，在是減函數(shù)，所以即，所以在上是減函數(shù)，顯然不恒成立.綜上所述：的取值范圍是.解法三：分離參數(shù)法等價于恒成立，很容易證明在單調(diào)遞增，但不存在最小值，故應(yīng)用現(xiàn)有知識無法求解．考慮洛必達(dá)法則：，所以，即的取值范圍是.說明：本題函數(shù)比較簡單，可以避開洛必達(dá)法則，方法是利用極限定義，但是對于變形要求較高，解析如下：其中，所以。第19題 2010年全國卷二壓軸題3種解法原題 設(shè)函數(shù)．（1）證明：當(dāng)時，．（2）設(shè)當(dāng)時，求的取值范圍． 解 （１）證明：當(dāng)時，即，即， 令，則．當(dāng)時，為增函數(shù)，當(dāng)時，為減函數(shù)，當(dāng)時，即，所以當(dāng)時，． (2) 是增函數(shù)，當(dāng)時，．當(dāng)時，若，則，不成立．對于時，有下面的三種解法：解法１ 放縮法 當(dāng)時，即，令，則，注意到，則，又由（１）知，當(dāng)時，在上是減函數(shù)，即．仍由（１）知，當(dāng)時，即，當(dāng)時，若時，即，不合題意．綜上，的取值范圍是．說明 使用放縮法，要把握放縮的尺度，要恰到好處，要求有較高的技巧．本解法中，需要巧妙利用進行放縮，達(dá)到了目的．解法2 連續(xù)求導(dǎo)法當(dāng)時，令，則，令，則，當(dāng)時，在上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)，即，在上是減函數(shù)，即． 當(dāng)時，則當(dāng)時，有， ，在上是增函數(shù)，即，在上是增函數(shù)，即．不合題意．綜上，的取值范圍是．說明 ：使用連續(xù)求導(dǎo)法，不能盲目連續(xù)求導(dǎo)，為了減小計算量，導(dǎo)數(shù)中能夠判斷符號的因式一般不要參與下一次求導(dǎo)．解法３ 利用羅比達(dá)法則（高等解法）時，即，即，當(dāng)時，顯然成立．當(dāng)時，令，則，令，則，令，則，由（1）知，當(dāng)時，，在上是增函數(shù)．由羅比達(dá)法則，，．綜上，的取值范圍是．說明： 解法３一開始用的是常見的分離參數(shù)法，但是分離后的新函數(shù)的單調(diào)性較難判斷，只好使用連續(xù)求導(dǎo)法，更讓高中學(xué)生感到困惑的是，證明了單調(diào)遞增之后，極限很難求解，需要利用羅比達(dá)法則，這個知識點在大學(xué)里才能學(xué)到，有興趣的同學(xué)查找資料了解可以了解這個法則．第20題 一道不等式證明題的2種解法已知正數(shù)滿足求證：分析：用代數(shù)法可以使用分析法，并隨時利用這個條件進行化簡.證法一：要證只要證即證即證即證注意到即證即證即證即證而故成立.所以原不等式成立.如果用幾何法，開始要用消元法，中間利用兩點間距離公式配湊，最后也用到了三角形不等式：證法二：左邊 設(shè)，則，關(guān)于軸的對稱點為，由對稱及三角形不等式知，當(dāng)為與軸交點時取等號.即原不等式成立。(Ⅱ)設(shè)當(dāng)時,若對任意,存在使求實數(shù)的取值范圍.（高考題）解:(Ⅰ),其中.(1)當(dāng)時，由得單調(diào)增區(qū)間為，由得單調(diào)減區(qū)間為.(2)當(dāng),令得,①當(dāng)=1即時, ,的單調(diào)減區(qū)間為.②當(dāng)時, ,由得單調(diào)增區(qū)間為，由得單調(diào)減區(qū)間為,.③當(dāng)時, 由得單調(diào)增區(qū)間為，由得單調(diào)減區(qū)間為.綜上,當(dāng)時，單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為。當(dāng)然不具備一般性。通過解一道高考題，探索其多種解法，體現(xiàn)了換元法、向量法、解析幾何法以及數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想在求無理函數(shù)最值（值域）中的應(yīng)用。設(shè)，消去得，由知，得。 的最小值為解法三 （配方法） 設(shè) 當(dāng)時，即的最小值為11Oxy解法四 （幾何法，圖象法） 如圖，表示直線表示原點到直線上的點的距離的平方．顯然其中以原點到直線的距離最短．此時，即所以的最小值為規(guī)律總結(jié)： 幾種解法都有特點和代表性。解法一：（轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)法）在區(qū)間上，恒成立恒
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