亞正定變換研究(文件)
【正文】 39。0X AX? ，故 ( 39。 0X AX X A X??，即 39。? 為亞正定變換 . 在歐氏空間 V 中，有著名的 Cauchy不等式：對(duì)任意 , V??? ，有 2( , ) ( , )( , )? ? ? ? ? ?? 當(dāng)且僅當(dāng) ,??線性相關(guān)時(shí) ,等號(hào)才成立 . 我們通過(guò)引入亞正定變換，將對(duì)這一重要不等式進(jìn)行推廣： 定理 5 設(shè) ? 是 n 維歐氏空間 V 的 一個(gè)亞正定變換，對(duì)任意 , V??? ，有 2[ ( , ) ( , ) ] 4( , ) ( , )? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? （ 2） 當(dāng)且僅當(dāng) ,??線性相關(guān)時(shí)，等號(hào)才成立 . 證明 當(dāng) 0?? 時(shí) ,(2)式顯然成立 ,以下討論 0?? 的情況 : 因?yàn)?? 為亞正定變換，則對(duì) , , 0V? ? ?? ? ?， tR? ，有 ( ( ), ) 0tt? ? ? ? ?? ? ? 展開，得 2( , ) [ ( , ) ( , ) ] ( , ) 0tt? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? （ 3） 由于 ? 為亞正定變換， 0?? ，故 ( , ) 0?? ? ? ， （ 3）式為二次式，故判別式 2[ ( , ) ( , ) ] 4( , ) ( , ) 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 即得 2[ ( , ) ( , ) ] 4( , ) ( , )? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? （ 4） 當(dāng) ,??線性相關(guān)時(shí) ,等號(hào)顯然成立 .反過(guò)來(lái)如果等號(hào)成立 ,由上面證明過(guò)程可以看出 ,或者 0?? ,也就是說(shuō) ,??線性相關(guān) .定理 5得證 . 推論 1 設(shè) V 是一個(gè)歐氏空間，則對(duì) V 中任意向量 ,??，有 2( , ) ( , )( , )? ? ? ? ? ?? 5 當(dāng)且僅當(dāng) ,??線性相關(guān)時(shí) ,等號(hào)才成立 . 證明 用 ? 表示恒等變換，則對(duì) V???， 0?? ，有 ()?? ?? ，故 ( ( ), ) ( , ) 0? ? ? ? ??? 即 ? 是亞正定變換，在定理 5中，當(dāng)亞正定變換取恒等變換 ? 時(shí)，有 2[ ( , ) ( , ) ] 4( , ) ( , )? ? ? ? ? ? ? ??? 即得 2( , ) ( , )( , )? ? ? ? ? ?? . 以上結(jié)果表明，定理 5是 Cauchy不等式的一個(gè)推廣 . 2 正規(guī)變換與正定變換 定義 4 設(shè) ? 為 n 維 歐氏空間 V 的一個(gè)亞正定變換，且是一個(gè)對(duì)稱變換，則稱 ? 是 V 的一個(gè)正定變換 . 定義 5 設(shè) ? 為 n 維歐氏空間 V 的一個(gè)線性變換， 39。??? 為正定變換 . 證明 令 ? 為歐氏空間 V 的一個(gè)線性變換， 12, , , n? ? ? 為一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，設(shè) ? 在 12, , , n? ? ? 下的矩陣為 A ， 則 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )nn A? ? ? ? ? ? ??，從而 1 2 1 239。nnxxAx? ? ? ? ?????????????? 6 令12nxxXx?????????????,從而 ( , ) 39。 39。X A X? ? ? ? 故 39。) ( , , , ) ( 39。)X A A Y? ? ? ?? ? ? ( , ( 39。( 39。)Y A A X Y A A X X A A Y? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 因此 ( ( 39。??? 是正定變換，則 0,V?? ? ? 有 (( 39。??? 為亞正定變換 .又因?yàn)?39。 ( 39。X AX X AX X A X? ? ? ? ? ? 且 12( , )n BX?? ? ? ?? ， ( , ) 39。 39。 39。 0X AB X ? .即 ( , ) 0??? ? ? . 故 ?? 為亞正定變換 . 定理 7 設(shè) ? 是 n 維歐氏空間 V 的正規(guī)變換的充分必
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