20xx新人教a版高中數(shù)學(xué)必修一132奇偶性學(xué)案(文件)
【正文】 又 g(x)是偶函數(shù)， ∴ g(－ 1)＝ g(1)． ∵ f(－ 1)＋ g(1)＝ 2， ∴ g(1)－ f(1)＝ 2.① 又 f(1)＋ g(－ 1)＝ 4， ∴ f(1)＋ g(1)＝ 4.② 由 ①② ，得 g(1)＝ 3. R 上的奇函數(shù) f(x)滿足 f(x)＝ x2＋ 2x(x≥0) ，若 f(3－ a2)＞ f(2a－ a2)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是 ____________． 答案 (－ ∞ ， 32) 解析 依題意得，函數(shù) f(x)＝ x2＋ 2x在 [0，＋ ∞) 上是增函數(shù)，又因?yàn)?f(x)是 R上的奇函數(shù)，所以函數(shù) f(x)是 R 上的增函數(shù)，要使 f(3－ a2)＞ f(2a－ a2)，只需 3－ a2＞ 2a－ a＜ 32，即實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 (－ ∞ ， 32)． 11．設(shè)定義在 [－ 2,2]上的奇函數(shù) f(x)在區(qū)間 [0,2]上單調(diào)遞減，若 f(m)＋ f(m－ 1)＞ 0，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍． 解 由 f(m)＋ f(m－ 1)0， 得 f(m)－ f(m－ 1)，即 f(1－ m)f(m)． 又 ∵ f(x)在 [0,2]上為減函數(shù)且 f(x)在 [－ 2,2]上為奇函數(shù)， ∴ f(x)在 [－ 2,2]上為減函數(shù)， ∴????? － 2≤1 － m≤2 ，－ 2≤ m≤2 ，1－ mm，即????? － 1≤ m≤3 ，－ 2≤ m≤2 ，m12， 解得－ 1≤ m12. 因此實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 ??? ???－ 1， 12 . 三、探究與創(chuàng)新 12．已知 f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng) x＜ 0時(shí)， f(x)＝ x2＋ 3x＋ 2. 若當(dāng) x∈[1,3] 時(shí)， f(x)的最大值為 m，最小值為 n，求 m－ n的值． 解 ∵ x＜ 0 時(shí)， f(x)＝ x2＋ 3x＋ 2，且 f(x)是奇函數(shù)， ∴ 當(dāng) x＞ 0 時(shí)，－ x＜ 0，則 f(－ x)＝ x2－ 3x＋ 2. 故當(dāng) x＞ 0 時(shí)， f(x)＝－ f(－ x)＝ 3x－ x2－ 2. ∴ 當(dāng) x∈ ??? ???1， 32 時(shí)， f(x)是增函數(shù)； 當(dāng) x∈ ??? ???32， 3 時(shí)， f(x)是減函數(shù)． 因此當(dāng) x∈[1,3] 時(shí)， f(x)max＝ f??? ???32 ＝ 14， f(x)min＝ f(3)＝－ 2.∴ m＝ 14， n＝－ 2，從而 m－ n＝ 94. 13．設(shè)函數(shù) f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù) x， y 都有 f(x＋ y)＝ f(x)＋ f(y)，且 x＞ 0 時(shí)， f(x)＜ 0， f(1)＝－2. (1)求證： f(x)是奇函數(shù)； (2)求 f(x)在 [－ 3,3]上的最大值與最小值． (1)證明 令 x＝ y＝ 0，得 f(0)＋ f(0)＝ f(0)， ∴ f(0)＝ 0. 又令 y＝－ x，得 f(0)＝ f(x)＋ f(－ x)＝ 0， ∴ f(－ x)＝－ f(x)， ∴ f(x)是奇函數(shù)． (2)解 設(shè) x1， x2∈ R， 且 x1＜ x2，則 x2－ x1＞ 0， 于是 f(x2)－ f(x1)＝ f(x2)＋ f(－ x1)＝ f(x2－ x1)＜ 0， ∴ f(x1)＞ f(x2)， ∴ f(x)在 R 上是減函數(shù)， ∴ f(x)的最大值為 f(－ 3)＝－ f(3) ＝－ 3f(1)＝ (－ 3)( － 2)＝ 6， 最小值為 f(3)＝－ f(－ 3)＝－ 6. 。 f(x)是否等于 0，從而確定奇偶性． (2)圖象法：若函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為奇函
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