高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-2第1章4《數(shù)學(xué)歸納法》課時作業(yè)(文件)
【正文】 2－ 5n＋ 5|＝ 1不成立的最小 的正整數(shù)是 ________． [答案 ] 5 [解析 ] 從 n＝ 1,2,3,4,5， ? ，取值逐個驗證即可． 8．凸 k 邊形有 f(k)條對角線，則凸 k＋ 1 邊形的對角線條數(shù) f(k＋ 1)＝ f(k)＋____________. [答案 ] k－ 1 [解析 ] 設(shè)原凸 k邊形的頂點為 A1， A2， ? ， Ak，增加一個頂點 Ak＋ 1，增加 Ak＋ 1與 AA3， ? ， Ak－ 1共 k－ 2條再加上 A1與 Ak的一條連線共 k－ 1條． 三、解答題 9．?dāng)?shù)列 {an}滿足 Sn＝ 2n－ an(n∈ N*)． (1)計算 a1， a2， a3，并猜想 an的通項公式； (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明 (1)中的猜想． [解析 ] (1)當(dāng) n＝ 1時， a1＝ S1＝ 2－ a1， ∴ a1＝ 1； 當(dāng) n＝ 2時， a1＋ a2＝ S2＝ 22 － a2， ∴ a2＝ 32； 當(dāng) n＝ 3時， a1＋ a2＋ a3＝ S3＝ 23 － a3， ∴ a3＝ 74. 由此猜想 an＝ 2n－ 12n－ 1 (n∈ N*) (2)證明： ① 當(dāng) n＝ 1時， a1＝ 1結(jié)論成立， ② 假設(shè) n＝ k(k≥1 ，且 k∈ N*)時結(jié)論成立， 即 ak＝ 2k－ 12k－ 1 ， 當(dāng) n＝ k＋ 1時， ak＋ 1＝ Sk＋ 1－ Sk＝ 2(k＋ 1)－ ak＋ 1－ 2k＋ ak＝ 2＋ ak－ ak＋ 1， ∴ 2ak＋ 1＝ 2＋ ak ∴ ak＋ 1＝ 2＋ ak2 ＝ 2k＋ 1－ 12k ， ∴ 當(dāng) n＝ k＋ 1時結(jié)論成立， 于是對于一切的自然數(shù) n∈ N*， an＝ 2n－ 12n－ 1 成立． 10．求證： 1n＋ 1＋ 1n＋ 2＋ ? ＋ 13n56(n≥2 ， n∈ N＋ )． [證明 ] (1)當(dāng) n＝ 2時，左邊＝ 13＋ 14＋ 15＋ 16＝ 576056，不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng) n＝ k(k≥2 ， k∈ N＋ )時不等式成立， 即 1k＋ 1＋ 1k＋ 2＋ ? ＋ 13k56， 則當(dāng) n＝ k＋ 1時， 1k＋ ＋ 1＋1k＋ ＋ 2＋ ? ＋13k＋13k＋ 1＋13k＋ 2＋13k＋ 3 ＝ ??? ???1k＋ 1＋ 1k＋ 2＋ 1k＋ 3＋ ? ＋ 13k ＋ ??????13k＋ 1＋13k＋ 2＋13k＋ 3－1k＋ 1 5
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