【正文】 器的姿態(tài)。鑒于并聯(lián)機構自身結構的復雜程度，其工作空間的確定往往比較復雜，求解 方法一般分為解析法和數(shù)值法。其中，雅可比矩陣法是根據(jù)桿長約束建立雅可 比矩陣，所有使該矩陣不滿秩的點即為邊界點。近年來，先進制造技術的發(fā)展對并聯(lián)機器人的研究和發(fā)展起著積極的促進作用，也提出了更高的要求。其中，位置分析是最基本的任務，同時也是機構速度分析、加速度分析以及靈活度、剛度和精度分析等的前提。 空間 3RPS 并聯(lián)機構 機構組成 3RPS 并聯(lián)機構由動平臺、固定基座以及三條拓撲結構完全相同的支鏈組成，其機構簡圖如圖１所示。從而動平臺和固定基座可以分別簡化為等邊三角形，并且當三個滑塊處于高度時，其中心連線也為等邊三角形。 第 17 頁 動坐標系：與運動物體故連，并隨其一起運動的坐標系稱為動坐標系。 x y z o Y O X O 定坐標系 動坐標系 第 18 頁 圖 33 運動坐標系繞慣性坐標系的順次轉動 對于在三維空間里的一個參考系 ，任何坐標系的取向，都可以用三個歐拉角來表現(xiàn)。稱 xy平面與 XY平面的相交為交點線，用英文字母（Ｎ）代表。 設在空間坐標系 xyz 有一點 P（ x1， y1， z1），經(jīng)旋 轉后得到點 P39。根據(jù)前面的分析，選擇 Zc， ? ， ? 三個參數(shù)作為獨立的輸出位姿參數(shù)，其他三個參數(shù)可用這三個參數(shù)表示。 3RPS 并聯(lián)平臺機構的 位姿反解 3RPS 并聯(lián)機構結構形式如下圖。 AaYZXxy111 aa 132AA321ORcr3LL 12L2u1u3u1α 23αα 圖 35 3RPS 并聯(lián)機構結構圖 已知 3RPS 并聯(lián)機構平臺的位姿 U=（ Xc， Yc， Zc， ? ， ? ， ? ），求解機構各驅(qū)動桿的桿長 L=(L1,L2,L3)，就是 3RPS 并聯(lián)機構的位姿反解。 L21 =? ?Rrr ???? 2/)1( c o s)1( c o s2c o s ??? 2+(Zcrsin? cos? )2 L22 =? ?2/4/c o s1(4/2c o s2s i n3)(1( c o s Rrr ????? ???? 2+ ? ?2/4/c o s1(34/2s i n32c o s3)(c o s1( Rrr ????? ???? 2+ ? ?cZr ?? 2/)s i n3( c o ss i n ???2 L23 =? ?2/4/)c o s1(4/2c o s2s i n3)(c o s1( Rrr ????? ???? 2+ ? ?2/34/)2c o s32s i n3)(c o s1( Rr ??? ??? 2+ ? ?cZr ?? 2/s i n3(c o ss i n ??? 2 第 25 頁 3RPS 并聯(lián)平臺機構的位置正解 已知 3RPS 并聯(lián)機構平臺各 驅(qū)動桿的桿長，求解機構的位姿，就是機構的位姿正解。 若令 A=sin? ， B=sin? ， a=cos? ， b=cos? ， A2=sin2? ， a2=cos2? ，則 ??J 中的個元素為 J11=? ?ABrLAbrL BA 121 )1(2 ?? /L1 J12=? ?abrLaBrL BA 11 )2/1( ??? /L1 J13=L1B/L1 J21=? ?)3()3)(3)(1( 22222 aABrLAaLLbr cAB ????? /(2L2) J22=? ?)3(2/)13)(3( 22222 AabrLaALLrB cAB ????? /(2L2) J23=L2c/L3 J31=? ?)3()3)(3)(1( 32233 AaBrLAaLLbr cBA ????? /(2L3) J32=? ?)3(2/)13)(3( 32233 AabrLaALLrB cBA ????? /(2L3) J33= L3c/ L3 以上式中 ， L1A=ra2(b1)+r(b+1)/2R， L1b=ZcrBa L2A=r(b1)( 3 A2+a2)/4r(1+b)/4+R/2 L2B=人 （ 1b）（ 3 a2+3A2） /4+ 3 r（ 1+b） /4+R/2 第 27 頁 L2C=rB(a 3 A)/2+Zc L3A=R(1b)（ 3 A2a2） /4人 （ 1+b） /4+R/2 L3B=人 （ 1b）（ 3A2 3 a2） /4 3 人 （ 1+b） /4+ 3 R/2 L3C=rB(a+ 3 A)/2+Zc 本章小結： 本章對 3RPS 并聯(lián)平臺機構的運動性質(zhì)、獨立運動參數(shù)、位姿正反解進行了詳細分析。因此對并聯(lián)機構進行三維建模與仿真具有 較重要的現(xiàn)實意義。并聯(lián)機構的工作空間一般指可達工作空間，是指動平臺上某一點參考（通常為運動坐標系的原點）可以到達的所有點的集合。由于球鉸的擺動角度受其結構限制，因此，在對機構進行工作空間分 第 29 頁 析 時，必須考慮球鉸的最大圓錐擺角 ? qmax。 3RPS 并聯(lián)機構工作 空間邊界的確定 工作空間是機器人操作器的工作區(qū)域 ,它是衡量機器人性能的重要指標 ,但是對 3自由度 RPS 型并聯(lián)機構的工作空間的分析并不多 .究其原因 ,RPS 型并聯(lián)機構只有 3 個獨立的自由度 ,即如果要求得工作空間 ,必須求出三個移動自由度的坐標。 具體的搜索步驟如下 : ① 給定 Δ。處于最靈活時條件數(shù)等于 子空間 .由于本文分析的機構是 3 自由度機構 ,工作空間是三維空間 ,即 Zc 平移 ,x 和 y旋轉 .所以通過這三個獨立變量所繪制的工作空間可以表達完整的工作空間狀態(tài) . 本文中， 3RPS 并聯(lián)機構的位姿解析時，反解容易而正解較難，并考慮到桿長、轉角等的約束條件，應用優(yōu)化方法， 在 MATLAB 軟件上采用了一種數(shù)值方法的程序 ,可以搜索計算出工作空間上的離散點 .方法是取若干個適當?shù)钠叫衅矫孀鳛楣ぷ骺臻g的剖面 .這些平面與工作空間的交 即是工作空間在這些剖面上的邊界曲面線 .若取一系列這樣的剖面 ,就可以得到一系列的邊界曲線 .這些邊界曲線的集合就構成一個完整的工作空間曲面 .例如 ,取一平行于 XOY 的平面作為工作空間的剖面 ,該平面距離坐標原點 O 的距離 Zi∈ (Zmin,Zmax).然后 ,在該平面上取一極角 θi,作一極線 ρ與邊界曲線的交點 ρi即為運動平臺在該極線上所能達到的最遠點 .因此 ,只要能在此次極線上找到 ρi,即可算出該邊界點在坐標系 OXYZ 中的空間坐標 .由此可看出 ,通過上述方法處理后 ,即可將工作空間邊界點的計算問題轉化為對 ρi的一 維搜索問題 .而 ρi的求 第 31 頁 取 ,實際上是計算運動平臺是否滿足約束條件 ,即雅可比矩陣的條件數(shù) ,每增加一個 △ ρ時 ,就要判斷此上的點的雅可比矩陣的條件數(shù)是否在預先規(guī)定的范圍內(nèi) .達到最大的允許條件數(shù)時 ,此時的 (θi,ρi)記為靈活工作空間的邊界點 ,靈活工作空間的邊界點( x, y,Zc)可以表示為 (ρicosθi,ρisinθi,Zi).當求得一個邊界點后 ,令極線的極角增加△ θ,再按上述方法搜索出另一個邊界點 .當極角 θi 由 0 開始增加到 360176。 3） 桿間的相互干涉 ：對于本文所研究的 3RPS 并聯(lián)平臺機構，由于轉動副要動 第 30 頁 平臺的姿態(tài)變化不超過一定范圍，且三只球鉸只能在 y=0， y= 3 x， y= 3 x 3 個垂直平面內(nèi)運動，因此，只要動平臺的總臺變化不超過一定的范圍，且動平臺和定平臺半徑 r 和 R 選取適當，就不會出現(xiàn)桿間干涉的情況。且由于機構對稱，所以三根桿的最大、最小值分別相等。微電子加工以及其他應用場合。 第 28 頁 第 4章 3RPS 并聯(lián)機構的工作空間分析 引言 工作空間分析是并聯(lián)機構運動學設計的核心內(nèi)容之一，目的在于清晰地了解工作空間的大小、形狀和位置，一邊對末端執(zhí)行器的可達運動范圍作出客觀的評價。 已知驅(qū)動桿長 L=(L1,L2,L3)T，求動平臺位姿參數(shù) U= U（ Xc， Yc， Zc， ? ， ? ， ? ），選取優(yōu)化變量為 U=（ Zc， ? ， ? ），建立目標函 數(shù) F=min 0LL? （ L0為給定的桿長向量） （ 320） 令動平臺位姿 U=Uk，進行反解計算，可得到驅(qū)動桿桿長 L=L(Uk)，將得到的 L與 L0進行比較，若其誤差滿足給定的精度要求，則可終止計算，此時的 U 就是所求位姿的正解，否則繼續(xù)進行迭代計算。 ??T 的 9 個元素中實際只包含 3個獨立變量，在機構分析中可用歐拉角進行表達。定坐標系 OXYZ 位于基面三角形中央，原點位于三角形中心處， z 軸垂直向上， X 軸又 O 指向 A1， Y 軸平行于 A2A3,3 支撐桿長為 L1L2L3,3 條可伸縮桿最長為 Lmax，最短為 Lmin。 a1a2a3三點必須在 y=0， y= 3 x， y= 3 x 3 個垂直平面內(nèi)運動。 Z（ ? ） = ??????????1000c o ss in0s inc o s???? （ 37） Y（ ? ） = ??????????? ????c o s0s in010s in0c o s （ 38） Z（ ? ） =?????????? ?1000c o ss i n0s i nc o s???? （ 39） 旋轉矩陣 T T=Z（ ? ） Y（ ? ） Z（ ? ） （ 310） 第 21 頁 T=??????????????????????????????????????????????c o ss i ns i nc o ss i ns i ns i nc o sc o ss i nc o ss i ns i nc o sc o sc o ss i ns i nc o sc o ss i ns i nc o sc o ss i ns i nc o sc o sc o s （ 311） 3RPS 并聯(lián)平臺 機構位姿 解耦 由旋轉矩陣的變換過程可得到球鉸 ai對定系的坐標為： ai= ??T aie+c （ i=1,2,3） （ 312） 其中 ai和 aie 分別是球鉸 ai對定系和動系的位置向量， c=｛ Xc Yc Zc｝ T為動系原點對定系的位置向量，由于 ??T 的坐標投影式中各元素不易求解，所以采用歐拉角形式的旋轉矩陣如式（ 311）。 ③ 旋轉矩陣： 在二維平面內(nèi)任何一個點 P 在空間的位置可以