【正文】 器的姿態(tài)。鑒于并聯(lián)機構(gòu)自身結(jié)構(gòu)的復(fù)雜程度，其工作空間的確定往往比較復(fù)雜，求解 方法一般分為解析法和數(shù)值法。其中，雅可比矩陣法是根據(jù)桿長約束建立雅可 比矩陣，所有使該矩陣不滿秩的點即為邊界點。近年來，先進(jìn)制造技術(shù)的發(fā)展對并聯(lián)機器人的研究和發(fā)展起著積極的促進(jìn)作用，也提出了更高的要求。其中，位置分析是最基本的任務(wù)，同時也是機構(gòu)速度分析、加速度分析以及靈活度、剛度和精度分析等的前提。 空間 3RPS 并聯(lián)機構(gòu) 機構(gòu)組成 3RPS 并聯(lián)機構(gòu)由動平臺、固定基座以及三條拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)完全相同的支鏈組成，其機構(gòu)簡圖如圖１所示。從而動平臺和固定基座可以分別簡化為等邊三角形，并且當(dāng)三個滑塊處于高度時，其中心連線也為等邊三角形。 第 17 頁 動坐標(biāo)系：與運動物體故連，并隨其一起運動的坐標(biāo)系稱為動坐標(biāo)系。 x y z o Y O X O 定坐標(biāo)系 動坐標(biāo)系 第 18 頁 圖 33 運動坐標(biāo)系繞慣性坐標(biāo)系的順次轉(zhuǎn)動 對于在三維空間里的一個參考系 ，任何坐標(biāo)系的取向，都可以用三個歐拉角來表現(xiàn)。稱 xy平面與 XY平面的相交為交點線，用英文字母（Ｎ）代表。 設(shè)在空間坐標(biāo)系 xyz 有一點 P（ x1， y1， z1），經(jīng)旋 轉(zhuǎn)后得到點 P39。根據(jù)前面的分析，選擇 Zc， ? ， ? 三個參數(shù)作為獨立的輸出位姿參數(shù)，其他三個參數(shù)可用這三個參數(shù)表示。 3RPS 并聯(lián)平臺機構(gòu)的 位姿反解 3RPS 并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)形式如下圖。 AaYZXxy111 aa 132AA321ORcr3LL 12L2u1u3u1α 23αα 圖 35 3RPS 并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)圖 已知 3RPS 并聯(lián)機構(gòu)平臺的位姿 U=（ Xc， Yc， Zc， ? ， ? ， ? ），求解機構(gòu)各驅(qū)動桿的桿長 L=(L1,L2,L3)，就是 3RPS 并聯(lián)機構(gòu)的位姿反解。 L21 =? ?Rrr ???? 2/)1( c o s)1( c o s2c o s ??? 2+(Zcrsin? cos? )2 L22 =? ?2/4/c o s1(4/2c o s2s i n3)(1( c o s Rrr ????? ???? 2+ ? ?2/4/c o s1(34/2s i n32c o s3)(c o s1( Rrr ????? ???? 2+ ? ?cZr ?? 2/)s i n3( c o ss i n ???2 L23 =? ?2/4/)c o s1(4/2c o s2s i n3)(c o s1( Rrr ????? ???? 2+ ? ?2/34/)2c o s32s i n3)(c o s1( Rr ??? ??? 2+ ? ?cZr ?? 2/s i n3(c o ss i n ??? 2 第 25 頁 3RPS 并聯(lián)平臺機構(gòu)的位置正解 已知 3RPS 并聯(lián)機構(gòu)平臺各 驅(qū)動桿的桿長，求解機構(gòu)的位姿，就是機構(gòu)的位姿正解。 若令 A=sin? ， B=sin? ， a=cos? ， b=cos? ， A2=sin2? ， a2=cos2? ，則 ??J 中的個元素為 J11=? ?ABrLAbrL BA 121 )1(2 ?? /L1 J12=? ?abrLaBrL BA 11 )2/1( ??? /L1 J13=L1B/L1 J21=? ?)3()3)(3)(1( 22222 aABrLAaLLbr cAB ????? /(2L2) J22=? ?)3(2/)13)(3( 22222 AabrLaALLrB cAB ????? /(2L2) J23=L2c/L3 J31=? ?)3()3)(3)(1( 32233 AaBrLAaLLbr cBA ????? /(2L3) J32=? ?)3(2/)13)(3( 32233 AabrLaALLrB cBA ????? /(2L3) J33= L3c/ L3 以上式中 ， L1A=ra2(b1)+r(b+1)/2R， L1b=ZcrBa L2A=r(b1)( 3 A2+a2)/4r(1+b)/4+R/2 L2B=人 （ 1b）（ 3 a2+3A2） /4+ 3 r（ 1+b） /4+R/2 第 27 頁 L2C=rB(a 3 A)/2+Zc L3A=R(1b)（ 3 A2a2） /4人 （ 1+b） /4+R/2 L3B=人 （ 1b）（ 3A2 3 a2） /4 3 人 （ 1+b） /4+ 3 R/2 L3C=rB(a+ 3 A)/2+Zc 本章小結(jié)： 本章對 3RPS 并聯(lián)平臺機構(gòu)的運動性質(zhì)、獨立運動參數(shù)、位姿正反解進(jìn)行了詳細(xì)分析。因此對并聯(lián)機構(gòu)進(jìn)行三維建模與仿真具有 較重要的現(xiàn)實意義。并聯(lián)機構(gòu)的工作空間一般指可達(dá)工作空間，是指動平臺上某一點參考（通常為運動坐標(biāo)系的原點）可以到達(dá)的所有點的集合。由于球鉸的擺動角度受其結(jié)構(gòu)限制，因此，在對機構(gòu)進(jìn)行工作空間分 第 29 頁 析 時，必須考慮球鉸的最大圓錐擺角 ? qmax。 3RPS 并聯(lián)機構(gòu)工作 空間邊界的確定 工作空間是機器人操作器的工作區(qū)域 ,它是衡量機器人性能的重要指標(biāo) ,但是對 3自由度 RPS 型并聯(lián)機構(gòu)的工作空間的分析并不多 .究其原因 ,RPS 型并聯(lián)機構(gòu)只有 3 個獨立的自由度 ,即如果要求得工作空間 ,必須求出三個移動自由度的坐標(biāo)。 具體的搜索步驟如下 : ① 給定 Δ。處于最靈活時條件數(shù)等于 子空間 .由于本文分析的機構(gòu)是 3 自由度機構(gòu) ,工作空間是三維空間 ,即 Zc 平移 ,x 和 y旋轉(zhuǎn) .所以通過這三個獨立變量所繪制的工作空間可以表達(dá)完整的工作空間狀態(tài) . 本文中， 3RPS 并聯(lián)機構(gòu)的位姿解析時，反解容易而正解較難，并考慮到桿長、轉(zhuǎn)角等的約束條件，應(yīng)用優(yōu)化方法， 在 MATLAB 軟件上采用了一種數(shù)值方法的程序 ,可以搜索計算出工作空間上的離散點 .方法是取若干個適當(dāng)?shù)钠叫衅矫孀鳛楣ぷ骺臻g的剖面 .這些平面與工作空間的交 即是工作空間在這些剖面上的邊界曲面線 .若取一系列這樣的剖面 ,就可以得到一系列的邊界曲線 .這些邊界曲線的集合就構(gòu)成一個完整的工作空間曲面 .例如 ,取一平行于 XOY 的平面作為工作空間的剖面 ,該平面距離坐標(biāo)原點 O 的距離 Zi∈ (Zmin,Zmax).然后 ,在該平面上取一極角 θi,作一極線 ρ與邊界曲線的交點 ρi即為運動平臺在該極線上所能達(dá)到的最遠(yuǎn)點 .因此 ,只要能在此次極線上找到 ρi,即可算出該邊界點在坐標(biāo)系 OXYZ 中的空間坐標(biāo) .由此可看出 ,通過上述方法處理后 ,即可將工作空間邊界點的計算問題轉(zhuǎn)化為對 ρi的一 維搜索問題 .而 ρi的求 第 31 頁 取 ,實際上是計算運動平臺是否滿足約束條件 ,即雅可比矩陣的條件數(shù) ,每增加一個 △ ρ時 ,就要判斷此上的點的雅可比矩陣的條件數(shù)是否在預(yù)先規(guī)定的范圍內(nèi) .達(dá)到最大的允許條件數(shù)時 ,此時的 (θi,ρi)記為靈活工作空間的邊界點 ,靈活工作空間的邊界點( x, y,Zc)可以表示為 (ρicosθi,ρisinθi,Zi).當(dāng)求得一個邊界點后 ,令極線的極角增加△ θ,再按上述方法搜索出另一個邊界點 .當(dāng)極角 θi 由 0 開始增加到 360176。 3） 桿間的相互干涉 ：對于本文所研究的 3RPS 并聯(lián)平臺機構(gòu)，由于轉(zhuǎn)動副要動 第 30 頁 平臺的姿態(tài)變化不超過一定范圍，且三只球鉸只能在 y=0， y= 3 x， y= 3 x 3 個垂直平面內(nèi)運動，因此，只要動平臺的總臺變化不超過一定的范圍，且動平臺和定平臺半徑 r 和 R 選取適當(dāng)，就不會出現(xiàn)桿間干涉的情況。且由于機構(gòu)對稱，所以三根桿的最大、最小值分別相等。微電子加工以及其他應(yīng)用場合。 第 28 頁 第 4章 3RPS 并聯(lián)機構(gòu)的工作空間分析 引言 工作空間分析是并聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)設(shè)計的核心內(nèi)容之一，目的在于清晰地了解工作空間的大小、形狀和位置，一邊對末端執(zhí)行器的可達(dá)運動范圍作出客觀的評價。 已知驅(qū)動桿長 L=(L1,L2,L3)T，求動平臺位姿參數(shù) U= U（ Xc， Yc， Zc， ? ， ? ， ? ），選取優(yōu)化變量為 U=（ Zc， ? ， ? ），建立目標(biāo)函 數(shù) F=min 0LL? （ L0為給定的桿長向量） （ 320） 令動平臺位姿 U=Uk，進(jìn)行反解計算，可得到驅(qū)動桿桿長 L=L(Uk)，將得到的 L與 L0進(jìn)行比較，若其誤差滿足給定的精度要求，則可終止計算，此時的 U 就是所求位姿的正解，否則繼續(xù)進(jìn)行迭代計算。 ??T 的 9 個元素中實際只包含 3個獨立變量，在機構(gòu)分析中可用歐拉角進(jìn)行表達(dá)。定坐標(biāo)系 OXYZ 位于基面三角形中央，原點位于三角形中心處， z 軸垂直向上， X 軸又 O 指向 A1， Y 軸平行于 A2A3,3 支撐桿長為 L1L2L3,3 條可伸縮桿最長為 Lmax，最短為 Lmin。 a1a2a3三點必須在 y=0， y= 3 x， y= 3 x 3 個垂直平面內(nèi)運動。 Z（ ? ） = ??????????1000c o ss in0s inc o s???? （ 37） Y（ ? ） = ??????????? ????c o s0s in010s in0c o s （ 38） Z（ ? ） =?????????? ?1000c o ss i n0s i nc o s???? （ 39） 旋轉(zhuǎn)矩陣 T T=Z（ ? ） Y（ ? ） Z（ ? ） （ 310） 第 21 頁 T=??????????????????????????????????????????????c o ss i ns i nc o ss i ns i ns i nc o sc o ss i nc o ss i ns i nc o sc o sc o ss i ns i nc o sc o ss i ns i nc o sc o ss i ns i nc o sc o sc o s （ 311） 3RPS 并聯(lián)平臺 機構(gòu)位姿 解耦 由旋轉(zhuǎn)矩陣的變換過程可得到球鉸 ai對定系的坐標(biāo)為： ai= ??T aie+c （ i=1,2,3） （ 312） 其中 ai和 aie 分別是球鉸 ai對定系和動系的位置向量， c=｛ Xc Yc Zc｝ T為動系原點對定系的位置向量，由于 ??T 的坐標(biāo)投影式中各元素不易求解，所以采用歐拉角形式的旋轉(zhuǎn)矩陣如式（ 311）。 ③ 旋轉(zhuǎn)矩陣： 在二維平面內(nèi)任何一個點 P 在空間的位置可以