【正文】 11 通過該矢量的坐標 (在坐標軸上的投影 )就可以確定該點。該矩陣被稱為旋轉矩陣，記為 OAR ： ()O O O OA R A X A Y A Z? (22) 其中， AX 、 AY 、 AZ 分別表示坐標系 ??A 各軸的單位矢量 ，上標 O 表示該量在坐標系 ??O 中的表示。坐標變換中基本的變換是平移和旋轉。 機床的結構描述 圖 24 混聯(lián)機床 機床的 構成 如圖 24 是清華大學最新研制的新型 5 自由度混聯(lián)機床。伺服驅動為交流電機，傳動機構為滾珠絲杠。 (2) 高速、高加速度 進給。配備了高速主軸，在輸出功率為 的情況下，最高轉速為 10000r/min。因此通過改變滑塊的位置，可以帶動連桿運動，使刀具運動到章及標題 15 一定位置姿勢。 并聯(lián)機構的坐標表達 如圖 25 所示：為并聯(lián)機構的機構簡圖。 39。O 點為坐標原點，且在初始位置處，其坐標軸和參考系坐標軸對應平行，即 39。 故動坐標系的確定位置可用 39。 為了建立并聯(lián)機床的運動模型，還需要在每一個支鏈上建立坐標系。 39。第三條 支鏈的固定坐標系為 3 3 3 3{}bxyz ， 3b 為原點， 3x 軸沿著 33bp的方向， 3y 軸平行于固定坐標系的 y 軸， 3z 軸由“右手定則”確定。Op r? 3 3 3bp L? 33OB R? 在參考系中 ip 點的坐標為： 1 [0, , ]Tp y r z?? 2 [0, , ]Tp y r z?? 3 3 3[ c o s , 0 , s in ]Tp r r???? 位置向量 ib 可以表示為： 11[0, , ]Tb R z?? 22[0, , ]Tb R z? 3 3 3[ , 0, ]Tb R z?? 并聯(lián)機構的位置正反解 并聯(lián)機構的輸 入和輸出之間的關系為： ( , ) 0F xq? (29) 其中： q 表示并聯(lián)機構的輸入，如位置、角度等。 具體到這里研究的并聯(lián)機構，其中，運動學正解是指在已知并聯(lián)機構滑塊位置 (輸入 )，利用運動學方程來獲得并聯(lián)機構刀具的位姿 (輸出 )；運動學反解是指在已知并聯(lián)機構刀具的位姿利用運動學方程獲得并聯(lián)機構滑塊的位置。在實際的應用中，需要根據(jù)機床的裝配以及運動情況選定其中的一組，針對 圖 25 所示的工作模式對應的反解是以上 3式的“ ? ”號為“＋”的情況。但一般來說，并聯(lián)機構的正解問題主要靠數(shù)值法解決 在 給定機構的各輸入?yún)?shù) iz ， (1,2,3)i? ，相應的動平臺的位姿 ? ?,yz?可以得到如下 y mz n?? (215) 燕山大學本科生畢業(yè)設計（論文） 18 2 42f f egz e? ? ?? (216) ? ?12tan t? ?? (217) 式中 ， ? ?122zzm Rr?? ?， ? ?22124zzn Rr?? ? ， 12 ??me ， ? ? 122 znrRmf ???? ， ? ? 22212 RznrRg ????? ， BC CBAAt ? ????222， ? ?312 zzLA ?? ， 132 LLB ?? ， 23232122 )( LzzLLC ????? 在公式 (215)、 (216)和 (217)中 ， 注意到 當輸入一定時， y 和 z 有兩組解，相應地 ? 有四組解，因此 圖 25 所示的并聯(lián)機器人機構有四組運動正解，分別對應著四組安裝模式。此時，主 要的工作是通過搜索來確定工作空間的邊界。因此 圖 25所示并聯(lián)機構的工作空間分析就可以轉化為兩個簡單的平面機構的工作空間分析，問題變的簡單很多，這個特性也是其他空間并聯(lián)機構所不具備的?？v觀各種誤差建模方法，其共同特燕山大學本科生畢業(yè)設計（論文） 20 點是把各誤差因素作為各相應變量的微小量，通過適當?shù)膮?shù)變量處理，推導出刀具位姿誤差模型 [33]。 而結構誤差主要 是滑塊位置誤差、機構的垂直誤差 和桿長誤差。il 桿長 誤差 il? 則有 39。 39。 39。因為篇幅所限，本論文主要分析其 平面 2 自由度 5 桿機構，其 運動學近似模型構造矢量鏈圖 如圖 28 所示 。基礎坐標系 BO yz? 建立在導軌頂部，坐標原點 BO 等分 D， y 軸與工作臺平行。從基礎坐標系 BO yz? 到運動坐標系 T T TO yz? ，分別形 成兩個矢量 鏈閉環(huán) ： B 1 1 TO B T O? ? ? 和B 2 2 TO B T O? ? ? 。 式 (223)減去式 (221)得 ： 章及標題 23 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1δ δ δ δ δ δz z l l???? ? ? ? ?X B W R e R e n n (225) 式 (224)減去式 (222)得 ： 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2δ δ δ δ δ δz z l l???? ? ? ? ?X B W R e R e n n (226) 因為 T 1ii?nn ， δ 0ii?nn ， i=1， 2， 式 (225)兩邊同時點乘 T1n ，整理得 ： T T T T1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1δ δ δ δ δz z l???? ? ? ?n X n B n W R e n R e (227) 同理，式 (226)兩邊同時點乘 T2n ，整理得 : T T T T2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2δ δ δ δ δz z l???? ? ? ?n X n B n W R e n R e (228) 由式 (226)和式 (228)，整理得 ： TTT1 ( 1 ) 1 1 111T2 ( 1 ) 2 2 122δ20δδ20δδDyzzz????????? ?? ??? ???? ?? ?????? ??????n n R enn n R en T111 1 1 1T222 2 1 2δ δ010 δ δ001 l zl z??????? ? ? ????? ??? ? ? ????? ? ? ? ???n WR e n WR e (229) 位形 i 下，對這 2 個矢量鏈誤差建模，由式 (229)得 ： 2 1 2 7 7 1(δ ) ( ) (δ )ii? ? ??X J p (230) 公式 (230)是 2 自由度平面 并聯(lián) 機構 幾何誤差模型的表達公式，其中公式左邊為動平臺中心在固定坐標系中的誤差 δiX 。其中， D、 1z 、 2z 、 1l 和 2l 為長度參數(shù)， 1? 和 2? 為角度參數(shù) 。其代碼編寫過程與數(shù)學推導過程的格式很接近，使得編程更加直觀方便。 (2) 對于給定的不同結構參數(shù)誤差，所得出并聯(lián) 機構 的位姿誤差不同。由于 位置 參數(shù)變化對位置誤差的影響是姿態(tài)誤差的好幾個數(shù)量級，故將其分開分析， 其中包括 位置誤差包括yp? 、 zp? ， 姿態(tài)角誤差包括 ?? 。奇異位姿的分析對于機構設計中結構的合理取值具有非常重要的參考意義。 0 200 400 600 800 10004020020406080（ ） 結構參數(shù) 1l 圖 212 結構 參數(shù) 1l 對位姿精度的影響 0 200 400 600 800 10000（ ） 結構參數(shù) 2l 圖 213 結構 參數(shù) 2l 對位姿精度的影響 0 500 1000 1500210（ ） 結構參 數(shù) D 圖 214 結構 參數(shù) D 對位姿精度的影響 分析圖 212到圖 214，可總結出結構參數(shù)對位姿誤差的影響規(guī)律： (1) 在結構參數(shù)變化中，位置誤差的變化遠大于姿態(tài)角誤差的變化，其差異大致為 3個數(shù)量級，出現(xiàn)奇異值位置基本相近。 但并聯(lián)機構的誤差補償不僅需要對誤差進行特性分析，還需要對機構加。 本章小結 本章以 清華大學設計的混聯(lián)機床的并聯(lián)機構 為研究對象，通過閉環(huán)矢量方法， 分析了并聯(lián)機構的運動學模型和誤差來源； 運用微分關系 對 并聯(lián) 機構位置進行誤差建模；在此基礎上對位置誤差進行了分析， 全面分析了初始結構參數(shù)和初始位姿參數(shù)對并聯(lián) 機構位置 的影響，為后面章節(jié)的靜態(tài)誤差優(yōu)化提供了數(shù)學模型和理論依據(jù)。下面給出結構參數(shù)變化分別對位置誤差和姿態(tài)誤差的影響，分析結構參數(shù) 1l 、 2l 、 D 對并聯(lián) 機構位姿精度的影響 。 (2) 姿態(tài)角參數(shù)對并聯(lián)機器人位姿誤差的影響較小，且各峰值出現(xiàn)的位置接近相同。 位姿參數(shù)和結構參數(shù) 變化 對 并聯(lián) 機器人 位姿 的影響 位置 參數(shù) 變化 對 并聯(lián)機構位置誤差 的影響 下面 給出了位置 參數(shù)變化分別對輸出 位置 誤差的影響。 設 并聯(lián)機構 人坐標系及結構參數(shù)分別為如圖 28 所示， 其個鉸 鏈 相對于各自坐標系的位置矢量為： [0, 0]BO ? 1 [ , 0]2DB ?? 2 [ , 0]2DB ? 1 1 1 1 1[ ( s in ) , c o s ]2DT z z??? ? ? 2 2 2 2 2[ s in , c o s ]2DT z z???? 并聯(lián)機構的給定參數(shù)如下表： 表 21 并聯(lián) 機構 結構參數(shù) 1/l mm 2/l mm /Dmm 1/rad? 2/rad? 300 300 260 0 0 位置參數(shù)和參數(shù)為 : [ , ] [5 0 , 1 0 0 ]P z y?? ； 給定初始各結構參數(shù)及 驅動桿 誤差如表 22 表 22 初始結構參數(shù)誤差 ()Dmm? 1()z mm? 2()z mm? 1()l mm? 2()l mm? 1()?? 2()?? 1 2 并聯(lián)機器機構 輸出 位置 誤差 ： 1 1 1[ , ] [ , ]P z y? ? ??? 改變各初始結構參數(shù)誤差如表 23，為使動平臺輸出 位置 誤差具有可比章及標題 25 性， 并聯(lián)機器機構 輸出 位置 誤差 應 不同 。并聯(lián) 機構 誤差在其整個工作空間內(nèi)是個變量。 iJ 是聯(lián)系機器終端輸出誤差 δiX 和幾何參數(shù)誤差 δp 的雅可比矩陣。 存在微小幾何參數(shù)誤差時，式 (221)變?yōu)?： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1δ δ ( δ )( δ )( δ )( δ )z z l l??? ? ? ? ? ? ? ? ?X X B B R R e n n (223) 式中 1 1 1δ δ????R WR， 0110????????W。 1? 和 2? 分別是左、右導軌方向與鉛垂線的夾角，其名義值為 120 rad???? 。 1T TO 和 2T TO 之間分別由定長桿件連接，桿長分別為 1l 和 2l 。]PD??? 誤差 T12[]PD ??????? 章及標題 21 則有 39。Z Z Z??? (3) 機構的制造誤差 實際參數(shù) T12[]PD??? 名義參數(shù) T1239。 [ 39。 我們在根據(jù)反解公式求 滑塊位移 的時候僅僅是知道這些量的名義值 (理論值 )，由于這些量的實際值與理論值存在偏差，這樣，即使能精確控制各 滑塊位移 ,由于這些偏差值的存在 ,動平臺的姿態(tài)仍然無法得到精確的控制。 并聯(lián)機構誤差來源 影響 并聯(lián)機構 動平臺中心的誤差因素有很多 [34]，幾何誤差、熱變形誤差和載荷誤差占有最大比例 。建立并聯(lián)機構的誤差 模型并分析并聯(lián)機構的誤差，可以為并聯(lián)機床的設計、制造及誤差補償提供基本依據(jù)。因此，我們在分析其工作空間的時候，只要分析機構沿 y軸的位置工作空間以及動平臺的轉動能力即可。由以上各式可見，在機構的正解模型中， ? 的解與 y 參數(shù)無關。 與運動學反解