【正文】 ，求 b的值； （ 3）如圖， △OAB 是拋物線 y=﹣ x2+b′x （ b′ ＞ 0）的 “ 拋物線三角形 ” ，是否存在以原點(diǎn)O為 對稱中心的矩形 ABCD？若存在，求出過 O、 C、 D三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；若不存在，說明理由． 22．如圖，在邊長為 8的正方形 ABCD中，點(diǎn) O為 AD上一動點(diǎn)（ 4＜ OA＜ 8），以 O為圓心，OA的長為半徑的圓交邊 CD 于點(diǎn) M，連接 OM，過點(diǎn) M作 ⊙O 的切線交邊 BC于 N． （ 1）圖中是否存在與 △ODM 相似的三角形，若存在，請找出并給于證明． （ 2）設(shè) DM=x， OA=R，求 R關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式；是否存在整數(shù) R，使得正方形 ABCD內(nèi)部的扇形 OAM圍成的圓錐地面周長為 π ？若存在請求出此時(shí) DM的長；不存在，請說明理由 ． （ 3）在動點(diǎn) O 逐漸向點(diǎn) D運(yùn)動（ OA 逐漸增大）的過程中， △CMN 的周長如何變化？說明理由． 2021年山東省菏澤市鄄城縣中考數(shù)學(xué)二模試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 8小題，每小題 3分，共 24分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的． 1．計(jì)算 2m2n﹣ 3nm2的結(jié)果為（ ） A．﹣ 1 B．﹣ 5m2n C．﹣ m2n D．不能合并 【考點(diǎn)】 合并同類項(xiàng)． 【分析】 兩項(xiàng)是同類項(xiàng)，根據(jù)合并同類項(xiàng)的法則把系數(shù)相加即可． 【解答】 解： 2m2n﹣ 3nm2 =﹣ m2n， 故選 ： C． 【點(diǎn)評】 本題考查了合并同類項(xiàng)法則的應(yīng)用，注意：合并同類項(xiàng)時(shí)，把同類項(xiàng)的系數(shù)相加作為結(jié)果的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變． 2．已知，如圖， AC與 BD相交于點(diǎn) O， AB∥CD ，如果 ∠C=176。58′ C． 30176。56′ ， ∴∠BOC=∠C+∠D=176。 時(shí)， BF與圓相切， 此時(shí) △BO′D≌△FBE ， EF=BD=2， ∴F 點(diǎn)的坐標(biāo)為：（ 5， 1）或（ 1， 3）或（ 7， 0）， 則點(diǎn) B與下列格點(diǎn)的連線中，能夠與該圓弧相切的是（ 5， 1）或（ 1， 3）或（ 7， 0），共 3個(gè)． 故選 C． 【點(diǎn)評】 此題考查了切線的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及點(diǎn)的坐標(biāo)與直角坐標(biāo)系，其中確定出圓心 O′ 的坐標(biāo)是本題的突破點(diǎn)． 7．超市有一種 “ 喜之郎 ” 果凍禮盒，內(nèi)裝兩個(gè)上下倒置的果凍，果凍高為 4cm，底面是個(gè)直徑為 6cm的圓，橫截面可以近似地看作一個(gè)拋物線，為了節(jié)省成本，包裝應(yīng)盡可能的小，那么要制作這樣一個(gè)包裝盒至少紙板（ ）平方厘米．（不計(jì)重合部分） A． 253 B． 288 C． 206 D． 245 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】 圖， “ 喜之郎 ” 果凍禮盒是一長方體． 2個(gè)底面為矩形 A′B′C′D′ （如圖 3），2個(gè)側(cè)面為矩形 ABCD（如圖 2）， 2個(gè)側(cè)面是以 AB為高， AE為底的矩形． 【解答】 解：建立如圖（ 2）所示的平面直角坐標(biāo)系，過切點(diǎn) K作 KH⊥OD 于點(diǎn) H． 依題意知 K（ x， 2）． 易求開口向上拋物線的解析式： y= x2， 所以 2= x2， 解得 x= 或 x=﹣ （舍去）， ∴OH=HG= ， ∴BC=BO+OH+HG+GC=3+ + +3=6+3 ， ∴S 矩形 ABCD=AB?BC=4 （ 6+3 ） =24+12 （平方厘 米）． 如圖 3， S 矩形 A′B′C′D′ =6BC=6 （ 6+3 ）（平方厘米）． 所以， 2S 矩形 ABCD+2S 矩形 A′B′C′D′ +2AB?AE=178+80 （平方厘米）． 2 （ 24+12 ） +2 （ 36+18 ） +246=168+60 ≈253 （平方厘米）． 故選： A． 【點(diǎn)評】 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用．此題采用逆向思維，通過補(bǔ)全圖形來計(jì)算包裝盒的表面積． 8．如圖， AB是 ⊙O 的直徑， BC⊥AB ，垂足為點(diǎn) B，連接 CO并延長交 ⊙O 于點(diǎn) D、 E，連接 AD并延長交 BC于點(diǎn) F．則下列結(jié)論正 確的有（ ） ①∠CBD=∠CEB ； ② = ； ③ 點(diǎn) F是 BC的中點(diǎn)； ④ 若 = ， tanE= ． A． ①② B． ③④ C． ①②④ D． ①②③ 【考點(diǎn)】 圓的綜合題． 【分析】 （ 1）運(yùn)用直角及圓周角的關(guān)系證出 ∠CBD=∠CEB ． （ 2）運(yùn)用 △EBC∽△BDC 求證即可， （ 3）運(yùn)用反正法來判定． （ 4）設(shè) BC=3x， AB=2x，得出 OB、 OD及 OC、 CD的值，運(yùn)用 = 得出 tanE= ． 【解答】 證明（ 1） ∵BC⊥AB 于點(diǎn) B， ∴∠CBD+∠ABD=90176。 ，山腳 B處的俯角為 60176?！?， cos37176。 ， ∴∠ABP=90176。 ． 在直角 △PHB 中， PB= = =20 ． 在直角 △PBA 中， AB=PB?tan∠APB=20 ≈ （米）． 故答案為 30， ． 【點(diǎn)評】 本題主要考查了俯角的問題，坡度的定義，解直角三角形，難度適中．正確利用三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵． 13．已知反比例函數(shù) y= 在第二象限內(nèi)的圖象如圖，經(jīng)過圖象上兩點(diǎn) A、 E 分別引 y 軸與 x軸的垂線，交于 點(diǎn) C，且與 y軸與 x軸分別交于點(diǎn) M、 B．連接 OC交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn) D，且 = ，連接 OA， OE，如果 △AOC 的面積是 15，則 △ADC 與 △BOE 的面積和為 17 ． 【考點(diǎn)】 反比例函數(shù)系數(shù) k的幾何意義． 【分析】 連結(jié) AD，過 D 點(diǎn)作 DG∥CM ，根據(jù)等高的三角形的面積與底成正比，可得 △ACD 的面積是 5，再根據(jù)平行線分線段成比例和相似三角形的性質(zhì)可得 △ODF 的面積是 ，根據(jù)等量關(guān)系可得四邊形 AMGF 的面積 = ，再根據(jù)平行線分線段成比例和相似三角形的性質(zhì)可得△AOM 的面積，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù) k的幾何意義 可得 △BOE 的面積，依此即可求解． 【解答】 解：連結(jié) AD，過 D點(diǎn)作 DG∥CM ． ∵ = ， △AOC 的面積是 15， ∴CD ： CO=1： 3， OG： OM=2： 3， ∴△ACD 的面積是 5， △ODF 的面積是 15 = ， ∴ 四邊形 AMGF的面積 = ， ∴△BOE 的面積 =△AOM 的面積 = =12， ∴△ADC 與 △BOE 的面積和為 5+12=17． 故答案為： 17． 【點(diǎn)評】 考查了反比例函數(shù)系數(shù) k的幾何意義，涉及的知識點(diǎn)有：等高的三角形的面積與底成正比，平行線分線段成比例和相似三角形的性質(zhì)，反比例函 數(shù)系數(shù) k的幾何意義，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度． 14．如圖，菱形 ABCD 的邊長為 12cm， ∠A=60176。 ， ∠BPF=30176。 ﹣ 120176。 ，即可得出結(jié)論； （ 2）先由勾股定理求出 OF，再由三角形的面積求出 AE，根據(jù)垂徑定理得出 AC=2AE． 【解答】 （ 1）證明：連接 OC，如圖所示： ∵AB 是 ⊙O 直徑， ∴∠BCA=90176。 ， ∴FA⊥OA ， ∴AF 是 ⊙O 的切線； （ 2） ∵⊙O 的半徑為 4， AF=3， ∠OAF=90176。EC 是等腰三角形， 又 ∵EF⊥B′C ∴EF 為 ∠B39。 ， 即 AE⊥EF ； （ 2）連接 BB39。C=90176。 ， ∵∠OMD+∠CMN=90176。 ， ∴ ∵x ＞ 0， ∴ ， 同理當(dāng) R=7時(shí)， x= ． （ 3） ∵CM=CD ﹣ DM=8﹣ x， ， 且有 △ODM∽△MCN ， ∴ ， ∴ 代入得到 ， 同理 ， ∴ 代入得到 ， ∴△CMN 的周長為 P= =（ 8﹣ x） +（ x+8） =16， 在點(diǎn) O的運(yùn)動過程中， △CMN 的周長始終為 16，是一個(gè)定值． 【點(diǎn)評】 本題考查了圓的綜合，涉及了勾股定理、切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合的知識點(diǎn)較多，此類題目對學(xué)生的綜合能力要求較高，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想的運(yùn)用．