【正文】 (210) 求出上述矩陣的本征值就可求出實(shí)驗(yàn)觀察數(shù)據(jù)所反映系統(tǒng)的全部 Lyapunov指數(shù)。按（ 212）式所示過(guò)程 QR 分解 N 次，得到矩陣 A 的 QR 分解如下： )1()1()()( RnRNRNQA ????? (213) 定義 )()(1 NQANQA T ??? (214) 由（ 213）式得到： )()(1 NQANQA T ??? )()1()1()( NQRNRNR ???? ? (215) 按（ 212） ~（ 215）式表示的過(guò)程重復(fù)進(jìn)行下去，得到一系列矩陣KAAA , 21 ? ，它們都具有相同 的本征值，當(dāng) ??K 時(shí)，矩陣 A 的本征值可以通過(guò)下式求出： (216) 進(jìn)而求得系統(tǒng)的 Lyapunov指數(shù)譜為： )ln( aa ?? ? da ,2,1 ?? (217) llTll FDFD 2/1)]()[(lim ??dajR NNj aaa ,2,1,])([ /11 ??? ??? NNj aa jR/11 ])(ln[?????Nj aa jRN 1 )(ln1 6 由以上過(guò)程可以看出，欲求出實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)列重構(gòu)系統(tǒng)的 Lypunov指數(shù)譜，就要求出（ 210）式中的每個(gè)雅科比矩陣。每層節(jié)點(diǎn)的輸入只接收來(lái)自上層節(jié)點(diǎn)的輸出信號(hào)。下面簡(jiǎn)要介紹小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)算法。 比較式（ 218）與式（ 219），顯然式（ 219）中的參數(shù)個(gè)數(shù)比式（ 218）多，式（ 218）與式 (219)分別稱(chēng)為小波分解與小波網(wǎng)絡(luò)。 ixxwyxfuEu llkllkilki ???????? ? (228) 其中： )(139。, lkk xba ?????? ???由下面式子確定： 2239。39。239。39。 ??????? ? (233) 網(wǎng)絡(luò)參數(shù)值修改如下： kkk ???? ? (234) 10 kkk aaa ???? ? (235) kkk bbb ???? ? (236) kikiki uuu ???? ? (237) ? 為學(xué)習(xí)速率，由人為設(shè)定。通過(guò)對(duì)樣本的學(xué)習(xí)，使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的實(shí)際輸出 y 在一定的精度范圍內(nèi)與理想輸出 dTjx ,? 相同，這樣可以利用此小波網(wǎng)絡(luò)的輸入輸出關(guān)系 (239) 代表實(shí)際的映射關(guān)系式。 L=length(X)。 end plot(I)。 L=length(X)。 end for i=1:length(Y) d0=10000。 J=j。 end plot(1:M1,EE(1:M1),39。39。 m = 6。 Y = R(:,m+1)。 Q = zeros(N,N)。*P*Y/(e39。 J = zeros(d,d)。 for i = 1:tao:N for j = 1:N L0(1,j) = a(j)*Q(i,j)。 end end TZZ = TZZ/N Lyapunov 指數(shù)仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果 實(shí)驗(yàn)一 已典型的 Logsitic映射為例，按照上述方法計(jì)算它的 Lyapunov指數(shù)譜。另外，取 ?? ，隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)為 6。 表 2－ 2 當(dāng)嵌入維 1?d 時(shí) logistic映射在加入噪聲情況下的 Lyapnov指數(shù)譜 樣本個(gè)數(shù) 加入噪聲 訓(xùn)練次數(shù) 1? 25 ),0(N 500 50 ),0(N 500 100 ),0(N 500 25 ),0(N 500 50 ),0(N 500 100 ),0(N 500 15 注： logistic映射的實(shí)際 Lyapunov指數(shù)為 1? = （ 3）取樣本數(shù)為 100，迭代次數(shù)為 1000次，在嵌入維分別為 4,3,2,1?d 的情況下的 Lyapunov指數(shù)譜。但是差別不大，說(shuō)明該方法在計(jì)算 Lyapunov時(shí)具有一定的抗噪能力。 （ 4） 通過(guò)以上實(shí)驗(yàn)表明本文提出的計(jì)算最大 Lyapunov指數(shù)的方法是有效的，計(jì)算精度高，訓(xùn)練次數(shù)小。分別進(jìn)行如下三種情況下實(shí)驗(yàn)。 表 2－ 4 當(dāng)嵌入維 2?d 時(shí)計(jì)算得 Henon映射 Lyapnov指數(shù)譜 樣本數(shù) 訓(xùn)練次數(shù) 1? 2? 50 20xx 100 20xx 200 20xx 400 20xx 注： henon映射的實(shí)際 Lyapunov指數(shù)譜為 ?? ， ??? （ 2）分別在（ 1）中的樣本數(shù)和迭代次數(shù)下對(duì)樣本數(shù)據(jù)加入服從正態(tài)分布),0(N 和 ),0(N 噪聲的情況下計(jì)算 Lyapunov 指數(shù)。 表 2－ 6 在嵌入維 4,3,2?d 的情況下計(jì)算 Lyapunov指數(shù)譜 嵌入維 訓(xùn)練次數(shù) 1? 2? 3? 4? 2 1000 3 1000 4 1000 注： henon映射的實(shí)際 Lyapunov指數(shù)譜為 ?? ， ??? 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析： （１） 由表 2－ 4可見(jiàn)，當(dāng)分別取 100， 200， 400個(gè)樣本訓(xùn)練次數(shù) 500時(shí)計(jì)算的Lyapunov指數(shù)與真實(shí)值相差很少，當(dāng)增加樣本數(shù)計(jì)算精度提高并不明顯，因此僅取少量的樣本點(diǎn)就可以比較精確的計(jì)算出 Lyapunov指數(shù)。在計(jì)算最重要的最大 lyapunov指數(shù)值上是有效的。 （６） 通過(guò)以上實(shí)驗(yàn)表明本文提出的計(jì)算最大 Lyapunov指數(shù)的方法是有效的，計(jì) 18 算精度高，訓(xùn)練次數(shù)小。本文介紹了 Lyapunov指數(shù)的定義、性質(zhì)及計(jì)算原理和數(shù)值計(jì)算的實(shí)現(xiàn)方法，實(shí)例的計(jì)算機(jī)仿真表明 Lyapunov指數(shù)是研究分岔、混沌運(yùn)動(dòng)，解決工程實(shí)際問(wèn)題的有效方法之一。 混沌理論是非線性理論的重要分支學(xué)科，是現(xiàn)代非線性理論的一個(gè)重要組成部分，對(duì)于自然界和社會(huì)現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)有著不同于傳統(tǒng)科學(xué)的思想，比如關(guān)于非直接因果關(guān)系的思想和關(guān)于簡(jiǎn)單和復(fù)雜，確定與隨機(jī)統(tǒng)一的思想等，除了能夠解釋與說(shuō)明傳統(tǒng)科學(xué)理論所能解釋與說(shuō)明傳統(tǒng)科學(xué)理論所能解釋與說(shuō)明的現(xiàn)象與問(wèn)題之外，還能夠解釋與說(shuō)明傳統(tǒng)科學(xué)理論所不能解釋與說(shuō)明的許多復(fù)雜現(xiàn)象或問(wèn)題，現(xiàn)已成為眾多學(xué)科的研究前沿，具有很高的應(yīng)用價(jià)值?；跍y(cè)量范圍，非線性和混沌時(shí)間序列分析與預(yù)測(cè)正越來(lái)越成為復(fù)雜力學(xué)研究的依賴(lài)性工具。因此，基于 Lyapunov指數(shù)的時(shí)間序列預(yù)測(cè)是很好的預(yù)測(cè)方法，具有很好的發(fā)展前景。對(duì)本研究提供過(guò)幫助和做出過(guò)貢獻(xiàn)的個(gè)人或集體，均已在文中作了明確的說(shuō)明并表示了謝意。對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。 涉密論文按學(xué)校規(guī)定處理。圖表整潔，布局合理，文字注釋必須使用工程字書(shū)寫(xiě)，不準(zhǔn)用徒手畫(huà) 3）畢業(yè)論文須用 A4 單面打印，論文 50 頁(yè)以上的雙面打印 4）圖表應(yīng)繪制于無(wú)格子的頁(yè)面上 5）軟件工程類(lèi)課題應(yīng)有程序清單，并提供電子文檔 1）設(shè)計(jì)（論文） 2）附件：按照任務(wù)書(shū)、開(kāi)題報(bào)告、外文譯文、譯文原文（復(fù)印件）次序裝訂 3）其它 。 ：任務(wù)書(shū)、開(kāi)題報(bào)告、外文譯文、譯文原文（復(fù)印件）。 作者簽名： 日期： 年 月 日 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書(shū) 本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同意學(xué)校保留并向國(guó)家有關(guān)部門(mén)或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱和借閱。 作者簽名： 日 期： 23 學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的論文是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的研究成果。 Springer 1981 [13] Brans J P， Vincke P． Maresehal B． How to select and how to rank projects：The PROMETHEE method[J]． Euro J Opl Res． 1986， 24： 228238． [14] 黃潤(rùn)生 .混沌及其應(yīng)用 [M].武漢 :武漢大學(xué)出版社， 20xx:151163. [15] 馮明庫(kù)，丘水生，晉建秀 .一種 Lyapunov指數(shù)算法及其實(shí)現(xiàn) [J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用，20xx， 27(1):5051. 21 致 謝 22 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）原創(chuàng)性聲明和使用授權(quán)說(shuō)明 原創(chuàng)性聲明 本人鄭重承諾：所呈交的畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文），是我個(gè)人在指導(dǎo)教師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的成果。因此，將短期的預(yù)測(cè)應(yīng)用到其他領(lǐng)域是現(xiàn)在研究人員的研究重點(diǎn) 。時(shí)間序列預(yù)測(cè)是一個(gè)非常重要的實(shí)際問(wèn)題，它應(yīng)用于 經(jīng)濟(jì)和商業(yè)規(guī)劃、貨存和產(chǎn)量控制、天氣預(yù)報(bào)、信號(hào)處理控制等其它領(lǐng)域，可以說(shuō)為我們創(chuàng)造了很多經(jīng)濟(jì)效益。這其中鄰近點(diǎn)的選擇對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果影響很大。 小 結(jié) Lyapunov指數(shù)在研究動(dòng)力系統(tǒng)的分岔、混沌運(yùn)動(dòng)特性中起著重要的作用，是衡量系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的一個(gè)重要定量指標(biāo)，它表征了系統(tǒng)在相空間中相鄰軌道間收斂或發(fā)散的平均指數(shù)率。這是因?yàn)樾〔ňW(wǎng)絡(luò)相比 BP網(wǎng)絡(luò)擁有更多的修正系數(shù)，因此有更佳的非線性逼近能力。由計(jì)算結(jié)果來(lái)看該方法在計(jì)算 Lyapunov時(shí)具有一定的抗噪能力。 表 2－ 5 當(dāng)嵌入維 2?d 時(shí) henon映射在加入噪聲情況下的 Lyapnov指