基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的時間序列l(wèi)yapunov指數(shù)普的計算畢業(yè)設(shè)計-文庫吧
2025-06-05 11:40 本頁面
【正文】 示相空間中每一維相鄰軌道如何隨時間分離 ,具有拓?fù)溆成洳蛔冃?,且與系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關(guān) ,是對系統(tǒng)進(jìn)行刻劃和分類的重要指標(biāo)需確定 Lyapunov指數(shù)的系統(tǒng)分為兩種情況 ,一種情況是已知系統(tǒng)滿足的微分方程或映射關(guān)系 ,另一種情況是只知道實(shí)驗(yàn)觀察到的數(shù)據(jù) L在這兩種情況下 ,人們確定其 Lyapunov指數(shù)的方法不同，對第一種情況 ,可有規(guī)范的方法精確求出系統(tǒng)的 Lyapunov指 數(shù)。假設(shè)系統(tǒng)的映射關(guān)系為 : W (k + 1) = 163。(W (k ) ) (11) 軌道的擾動滿足 : δ W (k + 1) =δ F (W (k ) ) δ W (k ) (12) 其中 ,163。是 D維空間的映射 ZD163。(W ) 是 D D 階雅可比矩陣 ,選擇一初始狀態(tài) , 可得到 l個矩陣的乘積 : D 163。l = D 163。 ( l) ? D 163。 ( l 1) ???D 163。(1) (13) 其中 ,D 163。 (k ) = D 163。(W (k ) ) Z 根據(jù) Oseledec乘積遍歷性定理 [13] , 系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜為矩陣 (14) 2 本征值的對數(shù)。其中 T表示矩陣的轉(zhuǎn)置?？衫脭?shù)值方法求出 (14)式所示矩陣的本征值 ,進(jìn)而求出由映射。 從實(shí)驗(yàn)觀察到的數(shù)據(jù)確定系統(tǒng)的 Lyapunov指數(shù) , 可采用 Wolf方法 [5]和 BBA [4 ]方法等。其 中 Wolf方法僅適用于求系統(tǒng)的最大 Lyapunov指數(shù) ,BBA法可求出系統(tǒng)的全部 Lyapunov指數(shù) ,但此種方法運(yùn)算量很大 ,而且需要的數(shù)據(jù)點(diǎn)很多 ,使其應(yīng)用受到很大限制。 Lyapunov計算方法的定義 設(shè)在 x 點(diǎn)平均每次迭代所引起的指數(shù)分離中的指數(shù)為 )(x? ，顯然當(dāng)0)( ?x? 時，動力系統(tǒng)關(guān)于點(diǎn) x 具有敏感的依賴性。 )(xFk 為初始點(diǎn)經(jīng)過 k 次迭代后的相點(diǎn)，于是原相距 ? 的兩點(diǎn)經(jīng)過 k 次迭代后相距為 )()()( xFxFe kkxk ??? ?? ? (18) 取極限 0?? ， ??k ，得： (19) 根據(jù)這一原理可以采取跟蹤初值相近的兩個鄰近點(diǎn)演化軌道距離的變化來估計 Lyapunov指數(shù)。根據(jù)初始鄰近點(diǎn)的選取，以及跟蹤方法的不同又有不同的計算方法。 ????)()(ln1limlim)(0xFxFnxkkk?????? 3 第二章 基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的 Lyapunov 指數(shù)譜的計算 相空間重構(gòu) 在實(shí)驗(yàn)中，對一個多維系統(tǒng)的測量，往往得到的只是一維時間序列。假設(shè)對一個確定的動力系統(tǒng)的觀測函數(shù)為 )(tx ，經(jīng)過采樣后，得到一個單變量的時間序列， DNnnx ,2,1)},({ ?? 其中 )}({ nx 表示 ?nt ?0 時刻的觀測值， ? 為采樣時間間隔， 0t 為采樣起始時間。利用時滯方法可以通過這樣一個時間序列在 d 維歐式空間構(gòu)造一條軌道 )(ny ： )])1((,),(),([)( TdnxTnxnxny ???? ? TdNn D )1(,2,1 ??? ? (21) 其中 d 稱為嵌入維數(shù)， T 為時滯，是 ? 的整數(shù)倍， T 的選取原則是使 )(ny 與)( Tny ? 之間的相關(guān)性最小。根據(jù) Taken相空間重構(gòu)定理 [12]，一 般的，如果12 ?? md （其中 m 為原來動力系統(tǒng)的相空間維數(shù)），那么得到的 )(ny 就是原來動力學(xué)系統(tǒng)相應(yīng)的一條軌道到 dR 中的嵌入。由此可以得到 dR 上的一個動力學(xué)系統(tǒng)： ))(()( kyFTky ?? (22) 通過研究此系統(tǒng)的性質(zhì)就可以了解原來動力學(xué)系統(tǒng)的性質(zhì)。需要指出的是，嵌入維 12 ?? md 只是相空間重構(gòu)的充分條件，而非必要條件，確定嵌入維有很多種方法，比較常用的是 GrassbergerProcaccia相關(guān)積分法 [13]。 Oseledec 矩陣的確定 （ 22）式的映射關(guān)系可以寫成以下形式： (23) 令 )(1, kxxk ? ， )(2, Tkxxk ?? ， … ， ))1((, Tdkxx dk ??? ， )(1, Tkxx Tk ??? ， 4 )2(2, Tkxx Tk ??? ， … ， )(, dTkxx dTk ??? 顯然有關(guān)系： (24) 其中 ? 是未知映射，若（ 22）式出現(xiàn)微小擾動，則可以得到： )()()( kykFDTky ???? (25) 其中 )(kFD 為映射 F 的雅科比矩陣，其形式為： (26) 上述矩陣的最后一行滿足： (27) 確定雅科比矩陣 )(kFD 的過程即為確定（ 27）式的過程。 （ 25）式表明，對于重構(gòu)的相空間向量 )(ky ,它在 k 時刻的微小變化 )(ky? ，在雅科比矩陣 )(kFD 的作用下，將反映到 Tk? 時刻重構(gòu)的相空間向量 )( Tky ?取值的微小變化。依次下去，這種作用將累加到 )( NllTk ?? 時刻相空間向量)( lTky ? 取值的變化，其關(guān)系如下式表示： )()())1(()()( kykFDTlkFDlTkFDlTky ???????? ? (28) ?????????????),( ,2,1,3,2,2,1,dkkkdTkkTkkTkxxxxxxxx??? ?????????????????? kddkkkkkFD????? )1(321100000010000010)(??????????????????????????????dkkdkkkkxxx,2,21,1??????? 5 上式可改寫為： )()()( kykFDlTky l ???? (29) 同樣根據(jù) Oseledec乘積遍歷性定理 [9]，可以構(gòu)造出 011 AAAAB NN ??? 式一樣的矩陣，當(dāng) ??l 時，則可得到： (210) 求出上述矩陣的本征值就可求出實(shí)驗(yàn)觀察數(shù)據(jù)所反映系統(tǒng)的全部 Lyapunov指數(shù)。 QR 分解 在實(shí)際應(yīng)用中，由于（ 210）式 定義的矩陣存在著指數(shù)和分?jǐn)?shù)冪，此矩陣往往是病態(tài)的，難以直接精確計算它的全部本征值。本文采用長乘積矩陣的分解技術(shù)對（ 210）式進(jìn)行求解。首先定義： )1()1()( ANANAA ???? (211) 對此長乘積矩陣，遞歸計算 )()()1()( iRiQiQiA ?? Ni ,2,1 ?? (212) 式中 )(iQ 為正交矩陣， )(iR 為上三角矩陣， )0(Q 是 d 階單位矩陣。按（ 212）式所示過程 QR 分解 N 次，得到矩陣 A 的 QR 分解如下： )1()1()()( RnRNRNQA ????? (213) 定義 )()(1 NQANQA T ??? (214) 由（ 213）式得到： )()(1 NQANQA T ??? )()1()1()( NQRNRNR ???? ? (215) 按（ 212） ~（ 215）式表示的過程重復(fù)進(jìn)行下去，得到一系列矩陣KAAA , 21 ? ，它們都具有相同 的本征值，當(dāng) ??K 時，矩陣 A 的本征值可以通過下式求出： (216) 進(jìn)而求得系統(tǒng)的 Lyapunov指數(shù)譜為： )ln( aa ?? ? da ,2,1 ?? (217) llTll FDFD 2/1)]()[(lim ??dajR NNj aaa ,2,1,])([ /11 ??? ??? NNj aa jR/11 ])(ln[?????Nj aa jRN 1 )(ln1 6 由
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