【正文】 .............................................................................. 2 第二章 基于神經(jīng)網(wǎng)絡 的 Lyapunov 指數(shù)譜的計算 .............................................................. 3 相空間重構(gòu) ......................................................................................................... 3 Oseledec 矩陣的確定 ............................................................................................ 3 QR 分解 .............................................................................................................. 5 小波神經(jīng)網(wǎng)絡 ..................................................................................................... 7 基于 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡的 Lyapunov 指數(shù)譜計算方法 .............................................. 10 Lyapunov 指數(shù)實驗計算代碼 ..............................................................................11 確定嵌入維數(shù) ................................................................................ 11 確定延遲時間 ................................................................................ 11 計算 Lyapunov 指數(shù)普 ................................................................. 12 Lyapunov 指數(shù)仿真實驗結(jié)果 ............................................................................. 14 實驗一 ........................................................................................ 14 實驗二 ........................................................................................ 15 小 結(jié) ...................................................................................................................... 18 總 結(jié) ............................................................................................................................. 19 參考文獻 ........................................................................................................................ 20 致 謝 ............................................................................................................................. 21 II 摘 要 Lyapunov指數(shù)是衡量 系統(tǒng)動力學 特性的一個重要定量指標 ,它表征了系統(tǒng)在相空間 中相鄰軌道間收斂或發(fā)散的平均指數(shù)率。 人工神經(jīng)網(wǎng)絡 III Abstract Lyapunov exponent is an important measure of system dynamics quantitative indicators, It is characterized by the average rate in the phase space between adjacent tracks convergence or divergence. For the existence of chaotic dynamics, can be very intuitive judgment from the largest Lyapunov exponent is greater than zero: a positive Lyapunov exponent, means that the system in phase space, regardless of the initial tworail line spacing, however small, the difference will cannot predict As time evolved exponential increase in the rate of so reached, which is chaos. Lyapunov exponents are one of a number of parameters that characterize the nature of a chaotic dynamical system. We calculate the Lyapunov exponents from an observed time series based on the ability that a RBF neural work can approximate nonlinear functions. The results show that this method needs less puting time and has higher precision, so it has practical significance. Keywords: Lyapunov exponents。對于系統(tǒng)是否存在動力學混沌 , 可以從最大 Lyapunov指數(shù)是否大于零非常直觀的判斷出來 :一個正的 Lyapunov指數(shù) ,意味著在系統(tǒng)相空間中 ,無論初始兩條軌線的間距多么小 ,其差別都會隨著時間的演化而成指數(shù)率的增加以致達到無法預測 ,這就 是混沌現(xiàn)象。如果是一個簡單的 m維流形 (m = 1或 m = 2分別為一個曲線或一個面 ) ,那么 ,前 m個 Lyapunov指數(shù)是零 ,其余的 Lyapunov指數(shù)為負。(W (k ) ) (11) 軌道的擾動滿足 : δ W (k + 1) =δ F (W (k ) ) δ W (k ) (12) 其中 ,163。 ( l) ? D 163。(W (k ) ) Z 根據(jù) Oseledec乘積遍歷性定理 [13] , 系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜為矩陣 (14) 2 本征值的對數(shù)。其 中 Wolf方法僅適用于求系統(tǒng)的最大 Lyapunov指數(shù) ,BBA法可求出系統(tǒng)的全部 Lyapunov指數(shù) ,但此種方法運算量很大 ,而且需要的數(shù)據(jù)點很多 ,使其應用受到很大限制。 ????)()(ln1limlim)(0xFxFnxkkk?????? 3 第二章 基于神經(jīng)網(wǎng)絡的 Lyapunov 指數(shù)譜的計算 相空間重構(gòu) 在實驗中，對一個多維系統(tǒng)的測量，往往得到的只是一維時間序列。由此可以得到 dR 上的一個動力學系統(tǒng)： ))(()( kyFTky ?? (22) 通過研究此系統(tǒng)的性質(zhì)就可以了解原來動力學系統(tǒng)的性質(zhì)。依次下去，這種作用將累加到 )( NllTk ?? 時刻相空間向量)( lTky ? 取值的變化，其關系如下式表示： )()())1(()()( kykFDTlkFDlTkFDlTky ???????? ? (28) ?????????????),( ,2,1,3,2,2,1,dkkkdTkkTkkTkxxxxxxxx??? ?????????????????? kddkkkkkFD????? )1(321100000010000010)(??????????????????????????????dkkdkkkkxxx,2,21,1??????? 5 上式可改寫為： )()()( kykFDlTky l ???? (29) 同樣根據(jù) Oseledec乘積遍歷性定理 [9]，可以構(gòu)造出 011 AAAAB NN ??? 式一樣的矩陣，當 ??l 時，則可得到：