11_回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用_教案（人教a版選修1-2）(文件)
【正文】 ?2≈ ， 所以回歸模型的擬合效果很好． 1． 回歸直線方程能定量地描述兩個變量的關(guān)系，系數(shù) a^， b^刻畫了兩個變量之間的變化趨勢，其中 b^表示 x 變化一個單位時， y 的平均變化量．利用回歸直線可以對問題進(jìn)行預(yù)測，由一個變量的變化去推測另一個變量的變化． 2．線性回歸分析中： (1)殘差平方和越小，預(yù)報精確度越高． (2)相關(guān)指數(shù) R2取值越大，說明模型的擬合 效果越好． 某運(yùn)動員訓(xùn)練次數(shù)與運(yùn)動成績之間的數(shù)據(jù)關(guān)系如下： 次數(shù) (x) 30 33 35 37 39 44 46 50 成績 (y) 30 34 37 39 42 46 48 51 (1)作出散點(diǎn)圖； (2)求出線性回歸方程； (3)作出殘差圖，并說明模型的擬合效果； (4)計算 R2，并說明其含義． 【解】 (1)作出該運(yùn)動員訓(xùn)練次數(shù) (x)與成績 (y)之間的散點(diǎn)圖，如圖所示． (2)可求得 x ＝ ， y ＝ ， ?i＝ 18x2i＝ 12 656， ?i＝ 18y2i＝ 13 731， ?i＝ 18xiyi＝ 13 180， ∴ b^＝?i＝ 18 ?xi－ x ??yi－ y ??i＝ 18 ?xi－ x ?2 ＝?i＝ 18xiyi－ 8 x y?i＝ 18x2i－ 8 x 2≈ 5， a^＝ y － b^ x ＝－ 875， ∴ 線性回歸方程為 y^＝ 5x－ 875. (3)作殘差圖如圖所示， 由圖可知，殘差點(diǎn)比較均勻地分布在水平帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適． (4)相關(guān)指數(shù) R2＝ %的可能性是由訓(xùn)練次數(shù)引起的 . 非線性回歸分析 下表為收集到的一組數(shù)據(jù)： x 21 23 25 27 29 32 35 y 7 11 21 24 66 115 325 (1)作出 x 與 y 的散點(diǎn)圖，并猜測 x 與 y 之間的關(guān)系； (2)建立 x 與 y 的關(guān)系，預(yù)報回歸模型并計算殘差； (3)利用所得模型，預(yù)報 x＝ 40 時 y 的值． 【思路探究】 (1)畫出散點(diǎn)圖或進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，確定兩變量 x、 y 是否線性相關(guān)．由散點(diǎn)圖得 x、 y 之間的回歸模型． (2)進(jìn)行擬合，預(yù)報回歸模型，求回歸方程． 【自主解答】 (1)作出散點(diǎn)圖如圖，從散點(diǎn)圖可以看出 x 與 y 不具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)已有知識可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線 y＝ c1ec2x 的周圍，其中 c c2為待定的參數(shù)． (2)對兩邊取對數(shù)把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系， 令 z＝ ln y，則有變換后的樣本點(diǎn)應(yīng)分布在直線 z＝ bx＋ a， a＝ ln c1， b＝ c2的周圍，這樣就可以利用線性回歸模型來建立 y 與 x 之間的非線性回歸方程了，數(shù)據(jù)可以轉(zhuǎn)化為： x 21 23 25 27 29 32 35 z 求得回歸直線方程為 z^＝ － ， ∴ y^＝ － . 殘差如下表： yi 7 11 21 24 66 115 325 y^i e^i － － － (3)當(dāng) x＝ 40 時， y＝ － ≈ 1 131. 兩個變量不具有線性關(guān)系，不能直接利用線性回歸方程建立兩個變量的關(guān)系 ，可以通過變換的方法轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，如 y＝ c1ec2x，我們可以通過對數(shù)變換把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系，令 z＝ ln y，則變換后樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在直線 z＝ bx＋ a(a＝ ln c1， b＝ c2)的周圍． 有一個測量水流量的實(shí)驗(yàn)裝置，測得試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表： i 1 2 3 4 5 6 7 水高 h(厘米 ) 流量 Q(升 /分鐘 ) 134 根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立 Q 與 h 之間的回歸方程． 【解】 由表中測得的數(shù)據(jù)可以作出散點(diǎn)圖，如圖． 觀察散點(diǎn)圖中樣本點(diǎn)的分布規(guī)律，可以判斷樣本點(diǎn)分布在某一條曲線附近，表示該曲線的函數(shù)模型是 Q＝ m青島高二檢測 )在下列各組量中： ① 正方體的體積與棱長； ② 一塊農(nóng)田的水稻產(chǎn)量與施肥量； ③ 人的身高與年齡； ④ 家庭的支出與收入； ⑤ 某戶家庭的用電量與電價．其中量與量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是 ( ) A． ①② B． ②④ C． ③④ D． ②③④ 【解析】 ① 是函數(shù)關(guān)系 V＝ a3； ⑤ 電價是統(tǒng)一規(guī)定的，與用電量有一定的關(guān)系，但這種關(guān)系是確定的關(guān)系． ②③④ 中的兩個量之間的關(guān)系都是相關(guān)關(guān)系，因?yàn)樗镜漠a(chǎn)量與施肥量在一定范圍內(nèi)是正比、反比 或其他關(guān)系，并不確定；人的身高一開始隨著年齡的增加而增大，之后則不變化或降低，在身高增大時，也不是均勻增大的；家庭的支出與收入有一定的關(guān)系，在一開始，會隨著收入的增加而支出也增加，而當(dāng)收入增大到一定的值后，家庭支出趨向于一個常數(shù)值，也不是確定關(guān)系． 【答案】 D 3．下列命題正確的有 ________． ① 在線性回歸模型中， e 是 bx＋ a 預(yù)報真實(shí)值 y 的隨機(jī)誤差，它是一個可觀測的量； ② 殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好； ③ 用 R2來刻畫回歸方程， R2越小，擬合的效果越好； ④ 在殘差圖中，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水 平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，若帶狀區(qū)域?qū)挾仍秸?，說明擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報精度越高． 【解析】 對于 ① 隨機(jī)誤差 e 是一個不可觀測的量， ③ R2越趨于 1，擬合效果越好，故 ①③ 錯誤．對于 ② 殘差平方和越小，擬合效果越好，同理當(dāng)殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域時，擬合效果越好，故 ②④ 正確． 【答案】 ②④ 4．下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量 x(噸 )與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗 y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤 )的幾組對照數(shù)據(jù)： x 3 4 5 6 y 3 4 (1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散 點(diǎn)圖； (2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程； (3)已知該廠技改前 100 噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為 90 噸標(biāo)準(zhǔn)煤．試根據(jù) (2)求出的線性回歸方程，預(yù)測技改后生產(chǎn) 100
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