【正文】 hn(m， n 是正的常數 )．兩邊取常用對數， 則 lg Q＝ lg m＋ n青島高二檢測 )在下列各組量中： ① 正方體的體積與棱長； ② 一塊農田的水稻產量與施肥量； ③ 人的身高與年齡； ④ 家庭的支出與收入； ⑤ 某戶家庭的用電量與電價．其中量與量之間的關系是相關關系的是 ( ) A． ①② B． ②④ C． ③④ D． ②③④ 【解析】 ① 是函數關系 V＝ a3； ⑤ 電價是統(tǒng)一規(guī)定的，與用電量有一定的關系，但這種關系是確定的關系． ②③④ 中的兩個量之間的關系都是相關關系，因為水稻的產量與施肥量在一定范圍內是正比、反比 或其他關系，并不確定；人的身高一開始隨著年齡的增加而增大，之后則不變化或降低，在身高增大時，也不是均勻增大的；家庭的支出與收入有一定的關系，在一開始，會隨著收入的增加而支出也增加，而當收入增大到一定的值后，家庭支出趨向于一個常數值，也不是確定關系． 【答案】 D 3．下列命題正確的有 ________． ① 在線性回歸模型中， e 是 bx＋ a 預報真實值 y 的隨機誤差，它是一個可觀測的量； ② 殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好； ③ 用 R2來刻畫回歸方程， R2越小，擬合的效果越好； ④ 在殘差圖中，殘差點比較均勻地落在水 平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，若帶狀區(qū)域寬度越窄，說明擬合精度越高，回歸方程的預報精度越高． 【解析】 對于 ① 隨機誤差 e 是一個不可觀測的量， ③ R2越趨于 1，擬合效果越好，故 ①③ 錯誤．對于 ② 殘差平方和越小，擬合效果越好，同理當殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域時，擬合效果越好，故 ②④ 正確． 【答案】 ②④ 4．下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產甲產品過程中記錄的產量 x(噸 )與相應的生產能耗 y(噸標準煤 )的幾組對照數據： x 3 4 5 6 y 3 4 (1)請畫出上表數據的散 點圖； (2)請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出 y 關于 x 的線性回歸方程； (3)已知該廠技改前 100 噸甲產品的生產能耗為 90 噸標準煤．試根據 (2)求出的線性回歸方程，預測技改后生產 100 噸甲產品比技改前少消耗多少噸標準煤． (參考數值： 3 ＋ 4 3＋ 5 4＋ 6 ＝ ) 【解】 (1)如下圖． (2)?i＝ 14xiyi＝ 3 ＋ 4 3＋ 5 4＋ 6 ＝ ， x ＝ 3＋ 4＋ 5＋ 64 ＝ ， y ＝ ＋ 3＋ 4＋ ＝ ， ?i＝ 14x2i＝ 32＋ 42＋ 52＋ 62＝ 86. b^＝ － 4 － 4 ＝ － 6386－ 81 ＝ ， a^＝ y － b^ x ＝ － ＝ ， 因此，所求的線性回歸方程為 y^＝ ＋ . (3)根據回歸方程預測，現在生產 100 噸產品消耗的標準煤的數量為 100＋ ＝ ( 噸 ) ， 故 耗 能 減 少 了 90 － ＝ ( 噸標準煤 ). 一、選擇題 1．在畫兩個變量的散點圖時，下面敘述正確的是 ( ) A．預報變量在 x 軸上，解釋變量在 y 軸上 B．解釋變量在 x 軸上，預報變量在 y 軸上 C．可以選擇兩個變量中任意一個變量在 x 軸上 D．可以選擇兩個變量中任意一個變量在 y 軸上 【解析】 結合線性回歸模型 y＝ bx＋ a＋ e 可知，解釋變量在 x 軸上，預報變量在 y 軸上，故選 B. 【答案】 B 2． (2020錯誤 !)＝ 錯誤 !≈ . 因此可以認為 y 與 x 有很強的線性相關關系． (3)回歸系數 b^＝∑5 i＝ 1xiyi－ 5 x y∑5 i＝ 1x2i－ 5 x 2＝ 452， a^＝ y － b^ x ＝ 315. ∴ 回歸方程為 y^＝ 452x＋ 315. (4)當 x＝ 500 時， y^≈ 500 分時，他的數學成績約為 81 分． 10． (2020福建高考 )某工廠為了對新研發(fā)的一種產品進行合理定價，將該產品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數據： 單價 x(元 ) 8 9 銷量 y(件 ) 90 84 83 80 75 68 (1)求回歸直線方程 y^＝ bx＋ a，其中 b＝－ 20， a＝ y － b x ； (2)預計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從 (1)中的關系，且該產品的成本是 4 元 /件，為使工廠獲得最大利潤，該產品的單價應定為多少元？ (利潤＝銷售收入－成本 ) 【解】 (1)由于 x ＝ 16(8＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 9)＝ ， y ＝ 16(90＋ 84＋ 83＋ 80＋ 75＋ 68)＝ 80，又 b＝－ 20， 所以 a＝ y － b x ＝ 80＋ 20 ＝ 250，從而回歸直線方程為 y^＝－ 20x＋ 250. (2)設工廠獲得的利潤為 L 元，依題意得 L＝ x(－ 20x＋ 250)－ 4(－ 20x＋ 250) ＝－ 20x2＋ 330x－ 1 000 ＝－ 20(x－ )2＋ . 當且僅當 x＝ 時， L 取得最大值 ． 故當單價定為 元時，工廠可獲得最大利潤． 11．在關于人的脂肪含量 (百分比 )和年齡的關系的研究中，研究人員獲得了一組數據如下表： 年齡23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 x 脂肪 含量y (1)作出散點圖，并判斷 y 與 x 是否線性相關．若線性相關，求線性回歸方程； (2)求相關指數 R2，并說明其含義； (3)給 出 37 歲時人的脂肪含量的預測值． 【解】 (1)散點圖如圖所示．由散點圖可知樣本點呈條狀分布，脂肪含量與年齡有比較好的線性相關關系，因此可以用線性回歸方程來刻畫它們之間的關系． 設線性回歸方程為 y^＝ b^x＋ a^， 則由計算器算得 b^≈ ， a^≈ ＝－ ， 所 以線性回歸方程為 y^＝ － . (2)殘差平方和： ?i＝ 114 e^2i＝ ?i＝ 114 (yi－ y^i)2≈ . 總偏差平方和： ?i＝ 1