方差分析及回歸分析(文件)
【正文】 122121 12212))((1))(()(1)()(1)( ? 這時， a,b的估計值是 ? 在例 1中，測得溫度對產(chǎn)品得率的關(guān)系是 ? 為了求回歸方程，我們需要計算 ??????????????bxnynaSSbniiniixxxy?)1(1??11溫度 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 得率 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89 和 Σ x Y x 2 y 2 xy 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89 10 000 12 100 14 400 16 900 19 600 22 500 25 600 28 900 32 400 36 100 2 025 2 601 2 916 3 721 4 356 4 900 5 476 6 084 7 225 7 921 4 500 5 610 6 480 7 930 9 240 10 500 11 840 12 260 15 300 16 910 1 450 673 218 500 47 225 101570 ? 于是得回歸直線方程為 ???????????????????????????????73 101673101?48 ?,3985673145010110 157 08250145010121 850 02aSSbSSxxxyxyxx于是得xy ???根據(jù)上表可以計算 三、 σ2的估計 ? 根據(jù) Y= a+bx + ε, ε ~N(0, σ2 ) （ 1） 即 ε = Y ( a + bx)； 得到 E{[Y –( a+bx)]2 }= E(ε2)=D(ε2)+[E(ε)]2= σ2, ? 這說明： 1. σ2愈小，用回歸函數(shù) μ(x)=ax+b作為 Y的近似所導(dǎo)致的均方誤差就愈??；用 μ(x)=ax+b研究 Y就愈有效； 2. 因為 σ2是未知的，這就要利用樣本來估計 σ2 。 xYYYeniiixYniiYYSbSQYYxxSYYS?,))((,)(112??????? ????殘差平方和為：則)2(~ 22 ?nQ e ?? 2]2[ ???nQE e2?eQ x Y x 2 y 2 xy 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89 10 000 12 100 14 400 16 900 19 600 22 500 25 600 28 900 32 400 36 100 2 025 2 601 2 916 3 721 4 356 4 900 5 476 6 084 7 225 7 921 4 500 5 610 6 480 7 930 9 240 10 500 11 840 12 260 15 300 16 910 1 450 673 218 500 47 225 101570 ? 計算下表的和時，要計算三個量： ? 和 Σ ]?[212? 2 xYYYe SbSnn Q ?????? 2?,?,? ?ba ? 例 在上表中求 σ2的無偏估計。 ? 可以證明 ? 且可以計算 及 ? 在 H0為真時， b=0,這時 ? 且有 ，即得 H0的拒絕域是 ),(~?2xxSbNb ? )2(~?)2( 2222??? nQn e ???? )2(~)2/(?)2(/?222?????ntnnSbbxx??? )2(~?|?||| ?? ntSbtxx? )2(?|?|||2/ ??? ntSbtxx ??0)?( ?? bbE ? 幾點說明： 1. 在 H0： b=0被拒絕時 ,認為回歸效果是顯著的；反之則認為回歸效果是不顯著的； 2. 回歸效果不顯著的原因可能是： 1) 影響 Y取值的，除 x和隨機誤差外，可能還有其他因素； 2) E(Y)與 x的關(guān)系可能不是線性的； 3) Y與 x可能不存在關(guān)系； ? 例 4（續(xù)例 2）檢驗回歸效果是否顯著。即 ? 相應(yīng)的估計量 是無偏的。 ? Y0是在 x=x0處的觀測結(jié)果，他滿足 Y0= a+bx0 + ε0, ε0 ~N(0, σ2 ) 我們利用在 x0處的經(jīng)驗回歸函數(shù)值 作為 Y0= a+bx0 + ε0的點預(yù)測。由此可以得到 ? 即 ? 在根據(jù)前面的討論，得到 b? )(??? 00 xxbY ??? ))(11[,0(~? 2200 ?xxSxxnNYY????)1,0(~)(11?2200 NSxxnYYxx????? ? 即 ? 對于給定的置信水平 1α，有 )2(~)2/(?)2()(11?222200 ???????ntnnSxxnYYxx???)2(~)(11??200 ?????ntSxxnYYxx??????????????????????????1)2()(11?|?|2/200ntSxxnYYPxx ? 區(qū)間 即區(qū)間 ? 稱該區(qū)間為 Y0的置信水平為 1α的預(yù)測區(qū)間。 x0 Y0的預(yù)測區(qū)間 x0 Y0的預(yù)測區(qū)間 125 (?) 150 ( ? ) 130 ( ? ) 155 ( ? ) 135 ( ? ) 160 ( ? ) 140 ( ? ) 165 ( ? ) 145 ( ? ) 。 ???????????????????1})(11?)2(?)(11?)2(?{202/00202/0xxxxSxxnntYYSxxnntYP])(11?)2(?[202/0xxSxxnntY ????? ?? ])(11?)2(??[202/0xxSxxnntxba ?????? ??|| 0 xx ? ? 例 5 續(xù)例 2， (1)求回歸函數(shù) μ(x)在 x=125處的值μ(125)的置信水平為 ，求在x=125處 Y的新觀測值的置信水平為
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