【正文】 023,2023,于是，我們就可以利用布萊克 —— 舒爾斯微分方程所揭示的這一特性，作出一個可以大大簡化我們工作的簡單假設(shè)：在對衍生證券定價時，所有投資者都是風險中性的。,2023,? N(d2)是在風險中性世界中期權(quán)被執(zhí)行的概率，或者說大于 X的概率， ? 169。 當標的證券已知收益的現(xiàn)值為 I時，我們只要用（ S－ I）代替 S即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌期權(quán)的價格。2023,*（二）有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的定價 1．美式看漲期權(quán) 當標的資產(chǎn)有收益時，美式看漲期權(quán)就有提前執(zhí)行的可能，因此有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的定價較為復雜，布萊克提出了一種近似處理方法。 2．美式看跌期權(quán) 由于收益雖然使美式看跌期權(quán)提前執(zhí)行的可能性減小，但仍不排除提前執(zhí)行的可能性，因此有收益美式看跌期權(quán)的價值仍不同于歐式看跌期權(quán)，它也只能通過較復雜的數(shù)值方法來求出。*第五節(jié) 二叉樹期權(quán)定價摸型 ? 由于美式看跌期權(quán)無法用布萊克 —— 舒爾斯期權(quán)定價公式進行精確定價，因此要用其它替代方法，如二叉樹期權(quán)定價模型，該模型是由科克斯（）、羅斯 ()和魯賓斯坦 ()于 1979年首先提出的。* 一、無收益資產(chǎn)期權(quán)的定價 二叉樹模型首先把期權(quán)的有效期分為很多很小的時間間隔，并假設(shè)在每一個時間間隔內(nèi)證券價格從開始的 S運動到兩個新值和中的一個，如圖 。2023, 時間為 ?t時，證券價格要么上漲到，要么下降到；時間為 2 ?t時，證券價格就有三種可能： （等于 S）和 2，以此類推。*（三）倒推定價法 由于在 T時刻的期權(quán)價值是已知的。 r =10%。 d = 。2023,*? 在時刻，股票在第 j個結(jié)點（ 0， 1， 2， ……i ）的價格等于。 ? 從最后一列結(jié)點處的期權(quán)價值可以計算出倒數(shù)第二列結(jié)點的期權(quán)價值。在 E結(jié)點，提前執(zhí)行將使期權(quán)價值為 0 ，所以不應提前執(zhí)行。 169。根據(jù)實踐經(jīng)驗，一般將時間區(qū)間分成 30個就可得到較為理想的結(jié)果。*二、有收益資產(chǎn)期權(quán)的定價 （一）支付連續(xù)復利收益率資產(chǎn)的期權(quán)定價 當標的資產(chǎn)支付連續(xù)復利收益率 q的收益時，在風險中性條件下，證券價格的增長率應該為 r－ q， 因此可得：對于股價指數(shù)期權(quán)來說， q 為股票組合的紅利收益率；對于外匯期來說， q為國外無風險利率，因此上式也可用于股價指數(shù)和外匯的美式看跌期權(quán)的定價。,若 δi 為 0時刻到時刻之間所有除權(quán)日的紅利支付率，則時刻結(jié)點的相應的證券價格為：169。若標的資產(chǎn)在未來某一確定日期將支付已知數(shù)額的收益，則除權(quán)后樹枝將不再重合，這意味著所要估算的結(jié)點的數(shù)量可能變得很大，特別是如果支付多次已知數(shù)額收益的話。?，而且 2023,在 iDt時刻，當 時，這個樹上每個結(jié)點對應的證券價格為：j=0， 1， 2…… ， iCopyright169。of 一月 21一月 21Monday, January 25, 2023? 雨中黃葉 樹 ，燈下白 頭 人。 一月 21一月 2120:32:3920:32:39January 25, 2023? 1他 鄉(xiāng) 生白 發(fā) ，舊國 見 青山。 2023/1/25 20:32:3920:32:3925 January 2023? 1做前，能 夠環(huán)視 四周；做 時 ，你只能或者最好沿著以腳 為 起點的射 線 向前。 一月 2120:32:3920:32Jan2125Jan21? 1世 間 成事，不求其 絕對圓滿 ，留一份不足，可得無限完美。 。 一月 21一月 21Monday, January 25, 2023? 閱讀 一切好 書 如同和 過 去最杰出的人 談話 。 勝 人者有力，自 勝 者 強 。 2023/1/25 20:32:3920:32:3925 January 2023? 1一個人即使已登上 頂 峰，也仍要自 強 不息。 25 一月 20238:32:39 下午 20:32:39一月 21? 1最具挑 戰(zhàn) 性的挑 戰(zhàn) 莫 過 于提升自我。 一月 2120:32:3920:32Jan2125Jan21? 1越是無能的人，越喜 歡 挑剔 別 人的 錯 兒。 2023/1/25 20:32:3920:32:3925 January 2023? 1空山新雨后，天氣晚來秋。 一月 21一月 2120:32:3920:32:39January 25, 2023? 1意志 堅 強 的人能把世界放在手中像泥 塊 一 樣 任意揉捏。 一月 21一月 21Monday, January 25, 2023? 很多事情努力了未必有 結(jié) 果，但是不努力卻什么改 變 也沒有。 。 一月 2120:32:3920:32Jan2125Jan21? 1故人江海 別 ，幾度隔山川。XiamenZheng2023,設(shè) 為 S*的標準差，假設(shè) 是常數(shù)，這樣就可用通常的方法構(gòu)造出模擬 S*的二叉樹了 。?時169。當 x為了簡化起見，我們?nèi)钥梢园炎C券價格分為兩個部分：一部分是不確定的，而另一部分是期權(quán)有效期內(nèi)所有未來紅利的現(xiàn)值。2023,*（二）支付已知收益資產(chǎn)的期權(quán)定價 1．已知紅利率 若標的資產(chǎn)在未來某一確定時間將支付已知收益率 ?，我們只要調(diào)整在各個結(jié)點上的證券價格就可算出期權(quán)價格。因此，也就可用于美式期貨看跌期權(quán)的定價。,2023,因此，若股價到達 F結(jié)點，就應提前執(zhí)行。這意味著所計算的期權(quán)價值是時間內(nèi)期權(quán)價值期望值的現(xiàn)值。在最后那些結(jié)點處，期權(quán)價值等于。, p = 據(jù)此我們可以畫出該股票在期權(quán)有效期內(nèi)的樹型圖，如下圖： 169。 T = 5 = 。 例： S0 = 50。,*（二）證券價格的樹型結(jié)構(gòu) 應用二叉樹模型來表示證券價格變化的完整樹型結(jié)構(gòu)如圖 示。根據(jù)本章第 2節(jié)的討論，在一個小時間段內(nèi)證券價格變化的方差是 。 S0u ?uS0d ?dS0 ?p(1 – p )169。,若不合理，則按歐式期權(quán)處理；若在提前執(zhí)行有可能是合理的，則要分別計算在 T時刻和時刻到期的歐式看漲期權(quán)的價格，然后將二者之中的較大者作為美式期權(quán)的價格。, 169。2023,是復制交易策略中股票的數(shù)量，（d1)就是股票的市值 , * 二、布萊克 —— 舒爾斯期權(quán)定價公式 在風險中性的條件下，歐式看漲期權(quán)到期時（ T時刻）的期望值為：根據(jù)風險中性定價原理，歐式看漲期權(quán)的價格 c等于將此期望值按無風險利率進行貼現(xiàn)后的現(xiàn)值，即： （ ）對式（ ）右邊求值是一種積分過程，結(jié)果為： 其中，由于歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平價關(guān)系 ,可得 169。為了更好地理解風險中性定價原理，我們可以舉一個簡單的例子來說明。* （二）風險中性定價原理 從上可以看出受制于主觀的風險收益偏好的標的證券預期收益率并未包括在衍生證券的價值決定公式中。 當然，推導布萊克 —— 舒爾斯微分方程并不要求調(diào)整標的證券的數(shù)量，因為它只關(guān)心 在一個較長時間中，要保持該投資組合無風險，必須根據(jù) ? 應該注意的是，當 S和 t變化時， 令 ?代表該投資組合的價值，則： （ ） 在時間后，該投資組合的價值變化為： 在沒有套利機會的條件下 ：我們代入 和 ，則可得著名的布萊克 —— 舒爾斯微分分程 ： 169。 169。,的標準差與成比例，這說明證券價格對數(shù)的不確定性（用標準差表示）與我們考慮的未來時間的長度的平方根成正比。 令 我們就可得出證券價格對數(shù) G所遵循的隨機過程為： 令 t時刻 G的值為， T時刻 G的值為，其中 S表示 t時刻（當前時刻）的證券價格，表示 T時刻（將來時刻）的證券價格，則在 T－ t期間 G的變化為： 這意味著： （ ） 根據(jù)正態(tài)分布的特性，從式（ ）可以得到：