【正文】 023,2023,于是，我們就可以利用布萊克 —— 舒爾斯微分方程所揭示的這一特性，作出一個(gè)可以大大簡(jiǎn)化我們工作的簡(jiǎn)單假設(shè)：在對(duì)衍生證券定價(jià)時(shí)，所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。,2023,? N(d2)是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中期權(quán)被執(zhí)行的概率，或者說大于 X的概率， ? 169。 當(dāng)標(biāo)的證券已知收益的現(xiàn)值為 I時(shí)，我們只要用（ S－ I）代替 S即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格。2023,*（二）有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的定價(jià) 1．美式看漲期權(quán) 當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)有收益時(shí)，美式看漲期權(quán)就有提前執(zhí)行的可能，因此有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的定價(jià)較為復(fù)雜，布萊克提出了一種近似處理方法。 2．美式看跌期權(quán) 由于收益雖然使美式看跌期權(quán)提前執(zhí)行的可能性減小，但仍不排除提前執(zhí)行的可能性，因此有收益美式看跌期權(quán)的價(jià)值仍不同于歐式看跌期權(quán)，它也只能通過較復(fù)雜的數(shù)值方法來求出。*第五節(jié) 二叉樹期權(quán)定價(jià)摸型 ? 由于美式看跌期權(quán)無法用布萊克 —— 舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式進(jìn)行精確定價(jià)，因此要用其它替代方法，如二叉樹期權(quán)定價(jià)模型，該模型是由科克斯（）、羅斯 ()和魯賓斯坦 ()于 1979年首先提出的。* 一、無收益資產(chǎn)期權(quán)的定價(jià) 二叉樹模型首先把期權(quán)的有效期分為很多很小的時(shí)間間隔，并假設(shè)在每一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)證券價(jià)格從開始的 S運(yùn)動(dòng)到兩個(gè)新值和中的一個(gè)，如圖 。2023, 時(shí)間為 ?t時(shí)，證券價(jià)格要么上漲到，要么下降到；時(shí)間為 2 ?t時(shí)，證券價(jià)格就有三種可能： （等于 S）和 2，以此類推。*（三）倒推定價(jià)法 由于在 T時(shí)刻的期權(quán)價(jià)值是已知的。 r =10%。 d = 。2023,*? 在時(shí)刻，股票在第 j個(gè)結(jié)點(diǎn)（ 0， 1， 2， ……i ）的價(jià)格等于。 ? 從最后一列結(jié)點(diǎn)處的期權(quán)價(jià)值可以計(jì)算出倒數(shù)第二列結(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值。在 E結(jié)點(diǎn)，提前執(zhí)行將使期權(quán)價(jià)值為 0 ，所以不應(yīng)提前執(zhí)行。 169。根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，一般將時(shí)間區(qū)間分成 30個(gè)就可得到較為理想的結(jié)果。*二、有收益資產(chǎn)期權(quán)的定價(jià) （一）支付連續(xù)復(fù)利收益率資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià) 當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)支付連續(xù)復(fù)利收益率 q的收益時(shí)，在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，證券價(jià)格的增長(zhǎng)率應(yīng)該為 r－ q， 因此可得：對(duì)于股價(jià)指數(shù)期權(quán)來說， q 為股票組合的紅利收益率；對(duì)于外匯期來說， q為國(guó)外無風(fēng)險(xiǎn)利率，因此上式也可用于股價(jià)指數(shù)和外匯的美式看跌期權(quán)的定價(jià)。,若 δi 為 0時(shí)刻到時(shí)刻之間所有除權(quán)日的紅利支付率，則時(shí)刻結(jié)點(diǎn)的相應(yīng)的證券價(jià)格為：169。若標(biāo)的資產(chǎn)在未來某一確定日期將支付已知數(shù)額的收益，則除權(quán)后樹枝將不再重合，這意味著所要估算的結(jié)點(diǎn)的數(shù)量可能變得很大，特別是如果支付多次已知數(shù)額收益的話。?，而且 2023,在 iDt時(shí)刻，當(dāng) 時(shí)，這個(gè)樹上每個(gè)結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的證券價(jià)格為：j=0， 1， 2…… ， iCopyright169。of 一月 21一月 21Monday, January 25, 2023? 雨中黃葉 樹 ，燈下白 頭 人。 一月 21一月 2120:32:3920:32:39January 25, 2023? 1他 鄉(xiāng) 生白 發(fā) ，舊國(guó) 見 青山。 2023/1/25 20:32:3920:32:3925 January 2023? 1做前，能 夠環(huán)視 四周；做 時(shí) ，你只能或者最好沿著以腳 為 起點(diǎn)的射 線 向前。 一月 2120:32:3920:32Jan2125Jan21? 1世 間 成事，不求其 絕對(duì)圓滿 ，留一份不足，可得無限完美。 。 一月 21一月 21Monday, January 25, 2023? 閱讀 一切好 書 如同和 過 去最杰出的人 談話 。 勝 人者有力，自 勝 者 強(qiáng) 。 2023/1/25 20:32:3920:32:3925 January 2023? 1一個(gè)人即使已登上 頂 峰，也仍要自 強(qiáng) 不息。 25 一月 20238:32:39 下午 20:32:39一月 21? 1最具挑 戰(zhàn) 性的挑 戰(zhàn) 莫 過 于提升自我。 一月 2120:32:3920:32Jan2125Jan21? 1越是無能的人，越喜 歡 挑剔 別 人的 錯(cuò) 兒。 2023/1/25 20:32:3920:32:3925 January 2023? 1空山新雨后，天氣晚來秋。 一月 21一月 2120:32:3920:32:39January 25, 2023? 1意志 堅(jiān) 強(qiáng) 的人能把世界放在手中像泥 塊 一 樣 任意揉捏。 一月 21一月 21Monday, January 25, 2023? 很多事情努力了未必有 結(jié) 果，但是不努力卻什么改 變 也沒有。 。 一月 2120:32:3920:32Jan2125Jan21? 1故人江海 別 ，幾度隔山川。XiamenZheng2023,設(shè) 為 S*的標(biāo)準(zhǔn)差，假設(shè) 是常數(shù)，這樣就可用通常的方法構(gòu)造出模擬 S*的二叉樹了 。?時(shí)169。當(dāng) x為了簡(jiǎn)化起見，我們?nèi)钥梢园炎C券價(jià)格分為兩個(gè)部分：一部分是不確定的，而另一部分是期權(quán)有效期內(nèi)所有未來紅利的現(xiàn)值。2023,*（二）支付已知收益資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià) 1．已知紅利率 若標(biāo)的資產(chǎn)在未來某一確定時(shí)間將支付已知收益率 ?，我們只要調(diào)整在各個(gè)結(jié)點(diǎn)上的證券價(jià)格就可算出期權(quán)價(jià)格。因此，也就可用于美式期貨看跌期權(quán)的定價(jià)。,2023,因此，若股價(jià)到達(dá) F結(jié)點(diǎn)，就應(yīng)提前執(zhí)行。這意味著所計(jì)算的期權(quán)價(jià)值是時(shí)間內(nèi)期權(quán)價(jià)值期望值的現(xiàn)值。在最后那些結(jié)點(diǎn)處，期權(quán)價(jià)值等于。, p = 據(jù)此我們可以畫出該股票在期權(quán)有效期內(nèi)的樹型圖，如下圖： 169。 T = 5 = 。 例： S0 = 50。,*（二）證券價(jià)格的樹型結(jié)構(gòu) 應(yīng)用二叉樹模型來表示證券價(jià)格變化的完整樹型結(jié)構(gòu)如圖 示。根據(jù)本章第 2節(jié)的討論，在一個(gè)小時(shí)間段內(nèi)證券價(jià)格變化的方差是 。 S0u ?uS0d ?dS0 ?p(1 – p )169。,若不合理，則按歐式期權(quán)處理；若在提前執(zhí)行有可能是合理的，則要分別計(jì)算在 T時(shí)刻和時(shí)刻到期的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格，然后將二者之中的較大者作為美式期權(quán)的價(jià)格。, 169。2023,是復(fù)制交易策略中股票的數(shù)量，（d1)就是股票的市值 , * 二、布萊克 —— 舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式 在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，歐式看漲期權(quán)到期時(shí)（ T時(shí)刻）的期望值為：根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，歐式看漲期權(quán)的價(jià)格 c等于將此期望值按無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)后的現(xiàn)值，即： （ ）對(duì)式（ ）右邊求值是一種積分過程，結(jié)果為： 其中，由于歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平價(jià)關(guān)系 ,可得 169。為了更好地理解風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，我們可以舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來說明。* （二）風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理 從上可以看出受制于主觀的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證券的價(jià)值決定公式中。 當(dāng)然，推導(dǎo)布萊克 —— 舒爾斯微分方程并不要求調(diào)整標(biāo)的證券的數(shù)量，因?yàn)樗魂P(guān)心 在一個(gè)較長(zhǎng)時(shí)間中，要保持該投資組合無風(fēng)險(xiǎn)，必須根據(jù) ? 應(yīng)該注意的是，當(dāng) S和 t變化時(shí)， 令 ?代表該投資組合的價(jià)值，則： （ ） 在時(shí)間后，該投資組合的價(jià)值變化為： 在沒有套利機(jī)會(huì)的條件下 ：我們代入 和 ，則可得著名的布萊克 —— 舒爾斯微分分程 ： 169。 169。,的標(biāo)準(zhǔn)差與成比例，這說明證券價(jià)格對(duì)數(shù)的不確定性（用標(biāo)準(zhǔn)差表示）與我們考慮的未來時(shí)間的長(zhǎng)度的平方根成正比。 令 我們就可得出證券價(jià)格對(duì)數(shù) G所遵循的隨機(jī)過程為： 令 t時(shí)刻 G的值為， T時(shí)刻 G的值為，其中 S表示 t時(shí)刻（當(dāng)前時(shí)刻）的證券價(jià)格，表示 T時(shí)刻（將來時(shí)刻）的證券價(jià)格，則在 T－ t期間 G的變化為： 這意味著： （ ） 根據(jù)正態(tài)分布的特性，從式（ ）可以得到：