初等模型 《數(shù)學(xué)模型》(第三版)電子課件姜啟源、謝金星、葉 俊編制(文件)
【正文】 按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將 19席分配完畢 甲系： p1=103, n1=10 乙系： p2= 63, n2= 6 丙系： p3= 34, n3= 3 用 Q值方法分配第 20席和第 21席 第 20席 4334,7663,1110103 232221 ????????? Q第 21席 3221 ,103 Q ???同上 Q3最大，第21席給丙系 甲系 11席，乙系 6席，丙系 4席 Q值方法分配結(jié)果 公平嗎？ Q1最大，第 20席給甲系 進一步的討論 Q值方法比“比例加慣例”方法更公平嗎？ 席位分配的理想化準(zhǔn)則 已知 : m方人數(shù)分別為 p1, p2,… , pm, 記總?cè)藬?shù)為 P= p1+p2+…+ pm, 待分配的總席位為 N。 第 二 章 初等模型 公平的席位分配 錄像機計數(shù)器的用途 雙層玻璃窗的功效 汽車剎車距離 劃艇比賽的成績 實物交換 核軍備競賽 啟帆遠航 量綱分析與無量綱化 公平的席位分配 系別 學(xué)生 比例 20席的分配 人數(shù) （ %） 比例 結(jié)果 甲 103 乙 63 丙 34 總和 200 20 21席的分配 比例 結(jié)果 21 問題 三個系學(xué)生共 200名（甲系 100，乙系 60，丙系 40），代表會議共 20席，按比例分配，三個系分別為 10， 6， 4席。 設(shè)理想情況下 m方分配的席位分別為 n1,n2,… , nm (自然應(yīng)有 n1+n2+…+ nm=N)， 記 qi=Npi /P, i=1,2, … , m, ni 應(yīng)是 N和 p1, … , pm 的函數(shù)，即 ni = ni (N, p1, … , pm ) 若 qi 均為整數(shù)，顯然應(yīng) ni=qi qi=Npi /P不全為整數(shù)時， ni 應(yīng)滿足的準(zhǔn)則： 記 [qi]– =floor(qi) ~ 向 ? qi方向取整； [qi]+ =ceil(qi) ~ 向 ? qi方向取整 . 1) [qi]– ? ni ? [qi]+ (i=1,2, … , m), 2) ni (N, p1, … , pm ) ? ni (N+1, p1, … , pm) (i=1,2, … , m) 即 ni 必取 [qi]– , [qi]+ 之一 即當(dāng)總席位增加時， ni不應(yīng)減少 “比例加慣例”方法滿足 1），但不滿足 2） Q值方法滿足 2） , 但不滿足 1） 。 模型中有待定參數(shù) , kvwr一種確定參數(shù)的辦法是測量或調(diào)查，請設(shè)計測量方法。 結(jié)果分析 Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳導(dǎo)系數(shù) k2, 而這要求空氣非常干燥、不流通。 問題分析 常識：剎車距離與車速有關(guān) 10英里 /小時 (?16公里 /小時 )車速下 2秒鐘行駛29英尺 (? 9米 ) 車身的平均長度 15英尺 (= ) “ 2秒準(zhǔn)則”與“ 10英里 /小時加一車身”規(guī)則不同 剎車距離 反應(yīng)時間 司機狀況 制動系統(tǒng) 靈活性 制動器作用力、車重、車速、道路、氣候 … … 最大制動力與車質(zhì)量成正比，使汽車作勻減速運動。 問題 準(zhǔn)備 調(diào)查賽艇的尺寸和重量 l /b, w0/n 基本不變 問題分析 ? 前進阻力 ~ 浸沒部分與水的摩擦力 ? 前進動力 ~ 漿手的劃漿功率 分析賽艇速度與漿手?jǐn)?shù)量之間的關(guān)系 賽艇速度由前進動力和前進阻力決定 劃漿 功率 賽艇 速度 賽艇 速度 前進 動力 前進 阻力 漿手?jǐn)?shù)量 艇 重 浸沒 面積 ? 對漿手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定 ? 運用合適的物理定律建立模型 模型假設(shè) 1）艇形狀相同 (l/b為常數(shù) ), w0與 n成正比 2） v是常數(shù)，阻力 f與 sv2成正比 符號：艇速 v, 浸沒面積 s, 浸沒體積 A, 空艇重 w0, 阻力 f, 漿手?jǐn)?shù) n, 漿手功率 p, 漿手體重 w, 艇重 W 艇的靜態(tài)特性 艇的動態(tài)特性 3） w相同， p不變， p與 w成正比 漿手的特征 模型建立 f sv2 ?p w ?v (n/s)1/3 ?s1/2 A1/3 ?A W(=w0+nw) n ?s n2/3 v n1/9 ?比賽成績 t n – 1/9 ?np fv 模型檢驗 n t 1 2 4 8 bant ? ?? nt nbat loglog ???最小二乘法 利用 4次國際大賽冠軍的平均成績對模型 t n – 1/ 9 進行檢驗 ?t n 1 2 4 8 ? ? ? ? 與模型巧合！ 問題 甲有物品 X, 乙有物品 Y, 雙方為滿足更高的需要，商定相互交換一部分。于是形成一族無差別曲線（無數(shù)條）。 ? 隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束，雙方通過了一系列的核裁軍協(xié)議。 背景 以雙方 (戰(zhàn)略 )核導(dǎo)彈數(shù)量描述核軍備的大小。 模型假設(shè) 圖的模型 y=f(x)~甲方有 x枚導(dǎo)彈，乙方所需的最少導(dǎo)彈數(shù) x=g(y)~乙方有 y枚導(dǎo)彈，甲方所需的最少導(dǎo)彈數(shù) 當(dāng) x=0時 y=y0， y0~乙方的 威懾值 xyy ?? 0x y y0 0 xyxfyy ???? 00 )(y0~甲方實行第一次打擊后已經(jīng)沒有導(dǎo)彈，乙方為毀滅甲方工業(yè)、交通中心等目標(biāo)所需導(dǎo)彈數(shù) x1 x0 y1 P(xm,ym) x=g(y) x y 0 y0 y=f(x) y=f(x) 乙安全區(qū) 甲安全區(qū) 雙方 安全區(qū) P~平衡點 (雙方最少導(dǎo)彈數(shù) ) 乙安全線 精細模型 乙方 殘存率 s ~甲方一枚導(dǎo)彈攻擊乙方一個基地，基地未被摧毀的概率。 ? 甲方將固定核導(dǎo)彈基地改進為可移動發(fā)射架 乙安全線 y=f(x)不變 甲方殘存率變大 威懾值 x 0和交換比不變 x減小，甲安全線x=g(y)向 y軸靠近 mmmm yyxx ???? ,x y 0 y0 x0 P(xm,ym) x=g(y) y=f(x) ),( mm yxP ???模型解釋 甲方這種單獨行為，會使雙方的核導(dǎo)彈減少 P?P180。 mnijaA ?? }{m=6, n=3 0),( ?fsvlg ?? 0),( 21 ?mqqqf ?????????TTTyyy)1,0,0()0,1,0()0,0,1(321????????????????flgslvlg13132221211????,1,3,1,0,2,0,0,2/1,2/1??????Ay=0 有 mr=3個基本解 rank A = 3 rank A = r Ay=0 有 mr個基本解 ys = (ys1, ys2, …, ysm)T s = 1,2,…, mr ???mjyjssjq1?mr 個無量綱量 0),( 21 ?mqqf ? 0),( ?fsvlg ?? F(?1, ?2 ,?3 ) = 0與 ?(g,l,
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