【正文】 元二次不等式，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化。 分析：求目標(biāo)函數(shù)的最值，必須先畫出準(zhǔn)確的可行域，然后把線性目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為一族平行直線，這樣就把線性規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一族平行直線與一平面區(qū)域有交點(diǎn)，直線在 y軸上截距的最大值與最小值問(wèn)題 . 解：先作出可行域，如圖所示中 ABC? 的區(qū)域， 且求得 A(5,2),B(1,1),C(1, 522 ) 作出直線 L0： 6x+10y=0，再將直線 L0平移 當(dāng) L0的平行線過(guò) B 點(diǎn)時(shí)，可使 z=6x+10y 達(dá)到最小值 當(dāng) L0的平行線過(guò) A 點(diǎn)時(shí)，可使 z=6x+10y 達(dá)到最大值 所以 zmin=16。 （ 2） 求 xyz? 的取值范圍。解 02 052{ ??? ???yx yx 得最優(yōu)解 C（ 7， 9）， max 7 2 9 25z? ? ? ? ? （ 2） 00???? xyxyz 表示可行域內(nèi)的點(diǎn)（ x,y）與（ 0， 0）的連線的斜率。 004 222OF ????，228, 130OF OC??， 130maxz??， 8minz ? 。 分析：?jiǎn)栴}（ 1）可轉(zhuǎn)化為 2 2 2 0ax x? ? ?在 ?????? 2,21內(nèi)有有 解 ；從而和問(wèn)題（ 2）是同一類型的問(wèn)題，既可以直接構(gòu)造函數(shù)角度分析，亦可以采用分離參數(shù) . 解：（ 1）若 ??QP? ， 0222 ???? xax 在 ?????? 2,21內(nèi)有有解 xxa 222 ???? 令2121122222 ??????? ?????? xxxu 當(dāng) ??????? 2,21x時(shí)， ???????? 21,4u 所以 a4,所以 a 的取值范圍是 ? ?4??aa （ 2）方程 ? ? 222lo g 22 ??? xax 在 ?????? 2,21內(nèi)有解 ， 則 0222 ??? xax 在 ?????? 2,21內(nèi)有解 。 第 10 題 第 4 課 不等式綜合 【考點(diǎn) 導(dǎo)讀 】 能利用不等式性 質(zhì)、定理、不等式解法及證明解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題，如最值問(wèn)題、恒成立問(wèn)題、最優(yōu)化問(wèn)題等 . 【基礎(chǔ) 練習(xí) 】 1. 若函 數(shù) ? ? ? ? ? ? ? ?2 2112 , 022xf x x x g x xx???? ? ? ? ???? ??，則 ??fx與 ??gx 的大 小關(guān) 系是? ? ? ?f x g x? ? ? ? ?22f x a x a? ? ?在區(qū)間 ? ?0,1 上恒為正，則 a 的取值范圍是 0＜ a＜ 2 ? ?,xy 在直線 3 2 0xy? ? ? 上移動(dòng)時(shí)， 3 27 1xyz ? ? ?的最小值是 7 0≤ m≤ 4的 m，不等式 x2+mx＞ 4x+m－ 3 恒成立，則 x的取值范圍是 x＞ 3 或 x＜ － 1 【 范例導(dǎo)析 】 例 已知集合 ??????? 2,21P，函數(shù) ? ?22lo g 22 ??? xaxy 的定義域?yàn)?Q （ 1）若 ??QP? ，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍。 （ 3） 2 2 2 2( 0) ( 0)z x y x y? ? ? ? ? ?表示可行域內(nèi)的點(diǎn)（ x,y）到（ 0， 0）的距離的平方。 解析：注意目標(biāo)函數(shù)是代表的幾何意義 . 解：作出可行域。 （ 2）、求線性目標(biāo)函數(shù)的最 優(yōu)解，要注意分析線性目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義 ——在 y 軸上的截距或其相反數(shù)。 思維點(diǎn)撥 :含參數(shù)不等式 ,應(yīng)選擇恰當(dāng)?shù)挠懻摌?biāo)準(zhǔn) 對(duì)所含字母分 類討論 ,要做到 不重不漏 . x 3 2 1 0 1 2 3 4 y 6 0 4 6 6 4 0 6 【反饋練習(xí)】 x的不等式 2 1 0,ax ax a? ? ? ?的解集為 R，則 a 的取值范圍是 ? ?,0?? 2 20ax bx? ? ? 解集為 1123x? ? ?，則 ab值分別為 12， 2 f(x) = 2 221x ax a??? 的定義域?yàn)?R，則 a 的取值范圍為 ? ?10?， M 是關(guān)于 x的不等式 2x2+(3a－ 7)x+3＋ a－ 2a20解集，且 M中的一個(gè)元素是 0，求實(shí)數(shù) a的取值范圍，并用 a表示出該不等式的解集 . 解： 原不等式即 (2x－ a－ 1)(x＋ 2a－ 3)0， 由 0?x 適合不等式故得 0)32)(1( ??? aa ，所以 1??a ，或23?a. 若 1??a ，則 5)1(252 132 ???????? aaa ，∴ 2 123 ??? aa ， 此時(shí)不等式的解集是 }232 1|{ axax ???? ； 若 23?a ，由 45)1(252 132 ????????? aaa ，∴ 2 123 ??? aa ， 此 時(shí)不等式的解集是 }2 123|{ ???? axax 。 （ 2） 已知 00 ?? yx ， ，且 302 ??? xyyx ，求 xy 的最大值． 分析：?jiǎn)栴}（ 1）可以采用常數(shù)代換的方法也可以進(jìn)行變量代換從而轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)再利用基本不等式求解；問(wèn)題（ 2）既可以直接利用基本不等式將題目中的等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于 xy 的不等式，也可以采用變量代換轉(zhuǎn)換為一元函數(shù)再求解 . 解 :(1)法一：直接利用基本不等式： a b b x a yx + y = (x + y )( + ) = a + b + +x y y x≥ +b+2 ab 當(dāng)且僅當(dāng)ay bx=xyab+ =1xy???????，即 x=a+ aby=b+ ab?????時(shí)等號(hào)成立 法二： 由 ab+ =1xy得 ayx=yb a y a ( y b ) a bx y y yy b y ba b a ba y ( y b ) a by b y b??? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???? ∵ x0， y0， a0 ∴ 由 ayyb0得 yb0 ∴ x+y≥2 ab+a+b 當(dāng)且僅當(dāng)ab = ybybab+ =1xy???????，即 y=b+ abx=a+ ab?????時(shí)，等號(hào)成立 （ 2） 法一 ： 由 302 ??? xyyx ，可得， )300(230 ????? xxxy 　 ． x xxxxxxy ? ????????? 2 64)2(34)2(230 22 ?????? ????? 264)2(34 xx 注意到 16264)2(2264)2( ???????? xxxx．可得， 18?xy ． 當(dāng)且僅當(dāng)2642 ??? xx，即 6?x 時(shí)等號(hào)成立，代入 302 ??? xyyx 中 得 3?y ，故 xy的最大值為 18． 法二 ： ??Ryx,? ， xyxyyx ????? 22222 ， 代入 302 ??? xyyx 中得： 3022 ??? xyxy 解此不等式得 180 ??xy ．下面解法見解法一，下略． 點(diǎn)撥： 求 條件最值的問(wèn)題，基本思想是借助條件化二元函數(shù)為一元函數(shù)，代入法是最基本的方法，也可考慮通過(guò)變形直接利用基本不等式解決 . 【反饋練習(xí)】 a＞ 1,且 2l o g ( 1 ) , l o g ( 1 ) , l o g ( 2 )a a am a n a p a? ? ? ? ?,則 pnm, 的大小關(guān)系為 m＞ p＞ n 下列 四個(gè)結(jié)論： ① 若 , Rba ? 則 22 ????baabbaab； ② 若 ??Ryx, ,則 yxyx lglg2lglg ?? ； ③ 若 ,??Rx 則 4424 ??????xxxx； ④ 若 ,??Rx 則 222222 ???? ?? xxxx 。同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合的思想在線性規(guī)劃中的運(yùn)用。 2．等比數(shù)列 }{na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ， 5 102, 6SS??，則 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0a a a a a? ? ? ? ? 54 。 （ I）求數(shù)列 ??na 和 ??nb 的通項(xiàng)公式； （ II）是否存在 *Nk? ，使 ???????? 21,0kk ba，若存在，求出 k ，若不存在，說(shuō)明理由。 3．已知等差數(shù)列 ??na 的公差為 2，若 1 3 4,a a a 成等比數(shù)列，則 2a? 6? 。 an+1－ nan+12=0， 又知數(shù)列 {bn}的通項(xiàng)為 bn=2n－ 1+1. (1)求數(shù)列 {an}的通項(xiàng) an及它的前 n項(xiàng)和 Sn； (2)求數(shù)列 {bn}的前 n項(xiàng)和 Tn； 解： (1）可解得nnaa nn 11 ???，從而 an=2n，有 Sn=n2+n， (2)Tn=2n+n－ 1. 6．?dāng)?shù)列 {an}中， a1=8,a4=2且滿足 an+2=2an+1－ an,(n∈ N*). (1)求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè) Sn=｜ a1｜ +｜ a2｜ +? +｜ an｜ ,求 Sn。 2．已知數(shù)列 }{na 的通項(xiàng)公式 12 ( 2 1 ) *2 1 ( 2 ){ ( )n nkn n n ka k N? ??????，其前 n 項(xiàng)和為 nS ，則 9S? 377 。 （ 3）11 1 1 1 1()( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 2 1 2 1nnnc b b n n n n?? ? ? ? ?? ? ? ?， ∴ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 )2 3 3 5 5 7 2 1 2 1 2 2 1nT n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 點(diǎn)評(píng)：本題考查了 na 與 nS 之間的轉(zhuǎn)化問(wèn)題，考查了基本等差數(shù)列的定義，還有裂項(xiàng)相消法求和問(wèn)題。 2．已知數(shù)列｛ an｝是等差數(shù)列 ,且 a2=8,a8=26,從｛ an｝中依次取出第 3項(xiàng) ,第 9項(xiàng) ,第 27項(xiàng)? ,第 3n項(xiàng) ,按原來(lái)的順序構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列｛ bn｝ , 則 bn=__3n+1+2___ 3． 若數(shù)列 ??na 滿足： 1,2,1 11 ??? ? naaa nn ， 2， 3? .則 ???? naaa ?21 21n? . 【范例導(dǎo)析】 例 432 ,}{ aaaan 中 分別是某等差數(shù)列的第 5項(xiàng)、第 3項(xiàng)、第 2項(xiàng)，且 1,641 ?? qa 公比 （Ⅰ）求 na ； （Ⅱ）設(shè) nn ab 2log? ，求數(shù)列 .|}{| nn Tnb 項(xiàng)和的前 解： （ I）依題意 032),(3 2244342 ?????? aaaaaaa 即 032 13131 ???? qaqaqa 2110132 2 ??????? qqqq 或 211 ??? qq? 1)21(64 ??? nna故 （ II） nb nnn ????? ?? 72lo g])21(64[lo g 7212 ??? ?? ???? 77 77|| nn nnb n 2 )13(2 )76(,6||,7 1 nnnnTbn n ???????? 時(shí)當(dāng) 2 )7)(6(212 )7)(71(,1||,7 78 ??????????? nnnnTTbn n時(shí)當(dāng) ???????????????)7(212 )7)(6()7(2 )13(nnnnnnT n 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了等比數(shù)列的基本性質(zhì)和等差數(shù)列的求和，本題還考查了轉(zhuǎn)化的思想。又2a7=a1+a13=132 S13＜ 0, ∴ a7＜ 0, a7+a6=a1+a12=61 S120, ∴ a6≥－ a70 故在 S1， S2，?， S12中 S6最大 . 解法三：依題意得： )(2)212()1(2 21 nnddndnnnaS n ??????? 222 )]245(21[,0,)245(8)]245(21[2