【正文】 讓學生在課堂上有所表現(xiàn)，不單老師對他們 瞭解，他們也瞭解自己有甚麼不懂的地方。近代數(shù)學的大發(fā) 展，往往起源於用不同的手法解決同一的問題，所 以不可少看這些不同的證明。 ﹚ ，可以跟其他學科如物 理、工程、經濟、音樂等等溝通的數(shù)學都值得討 論。柏克萊的 數(shù)學系當時在世界數(shù)一數(shù)二。我打算唸泛函分 析，已經學了不少這方面的東西，包括丹福一史華滋有 關的巨冊，還有不少有關算子代數(shù)的書。 這些學科包括拓樸 、 幾何 、 微分方程 、 李群 、 數(shù) 論 、 組合學 、 概率及動力系統(tǒng) 。 他們表 現(xiàn)出色，說話條理分明。米拿是位卓越的拓樸學 者。在圖書 館裏我讀了不少書藉和期刊。教授都為我的進 展而驚訝不已，欣慰非常。 縱然如此，對這些工作我倒不覺得怎樣。但我隱隱感覺到他發(fā)展的技巧 十分深奧，對未來幾何學的發(fā)展舉足輕重。他索性就在辦公室裏授課了。我也試圖去研 究幾何學的其它問題，可是進度緩慢。 我有點悶納 ， 心想這 些工作還不夠好，而且我還希望多學點東西。 代而之者 ， 我嘗試去了解空間的曲率 。 這 並不是個當代幾何學者研究的標準課題 ， 明 顯地 ， 這是分析學上的一道難題 ， 沒有人願 意跟它沾上邊。 由於摩里教授及陳師對極小曲面的興趣，我 亦對這項目深深著迷。要了解非線性方程，就必須先了解 線性方程。 畢業(yè)時我得到幾份聘書。同時提升了對拓樸，尤其 是空間對稱理論的鑑賞力。我學習他們的技巧，但 並不認為那是幾何的正確方向。我們 一起拓展了在幾何上的非線性分析。 當時我對物理還不算在行。但 我對它念念不忘。 兩個月後，卡拉比教授寫信給我，釐清了我 的一些想法。 差不多兩個星期都失眠，眼見名譽因犯錯 ﹙ 雖然我沒把想法成文發(fā)表 ﹚ 而毀於一旦。 意識到卡拉比猜想是對的後，我便朝著正確的方 向邁進。在 短短兩年裏，我們於與幾何有關的非線性分析， 碩果纍纍。 我終於掌握了凱勒 ﹙ Kahler﹚ 幾何中的曲率了。 丘博士現(xiàn)在任教於哈 佛大學及香港中文大學 。 完成卡拉比猜想的證明後 ， 我看出自己建立 了融合兩門重要科目 ──非線性偏微分方程 和幾何 ──的架構。 結果成績斐然 。 次年，我回到柏克萊訪問，並組織了“幾何上 非線性問題”的研討班。 ﹙ 只有當質量為正時，時 空才能穩(wěn)定。這些想法，迄今仍有其價值。我們?yōu)閹? 何學釐定了發(fā)展的方向。 到了七十年末期，我在數(shù)學界可說是略有名 望。 我對數(shù)學的興趣，源於人類智能足以參悟自然 的欣喜。 晚近的進展更顯示它在 物理及其它應用科學中的重要性。 此等空間之屬性 ， 莫測高深 ， 後之來者 ， 或有 灼見 ， 得窺堂奧 。在與理論物理學家的交往 中，我們獲得了一些數(shù)學上深刻的定理。 這與中國道家或陰陽有不少共通之處。 為數(shù)學而數(shù)學，實屬顯然，何須三思。 一方面注重普及教育 ， 在有意和無意間 ， 將 有興趣和有意義的數(shù)學教育忽略 。 數(shù)學裏面種種的分枝，如概率論、線性 方程組、微積分、代數(shù)和它們在物理 學、工程學和經濟學上的應用都應當使 學生有所接觸，更重要的是要求他們做 習題，融會貫通的唯一方法是多學多思 考多討論，並多接觸課外書。 在九零年 代 ， 香港很多好的中學生高中到外國留學實在不 少 ， 但是即使留學的中學生 ， 大多不想念研究院 ， 與五零年代到八零年代中葉大不相同 ， 留在香港讀 大學的學生，對基本科學的興趣也極為缺乏。 彭加箂 使余復稚年，童蒙初習，則願從柏拉圖 之教晦，自數(shù)學始。利用它我 們可以算出某些數(shù)學量。 對偶性這概念，優(yōu)美典雅。” 在過去十年間，我和合作伙伴正在致力研究 基本物理在幾何中的作用。 解決難 題可以視為人們理解大自然的路燈柱。 與朋輩如孫理察 、 西門 、 鄭紹遠 、 麥克斯 ﹙ Meeks﹚ 、 烏蘭貝克 ﹙ K. Uhlenbeck﹚ 、 漢 密爾頓 ﹙ R. Hamilton﹚ ， 和稍後的當勞遜 ﹙ S. Donaldson﹚ 、 塔貝斯 ﹙ H. Taubes﹚ 、 惠斯根 ﹙ G. Huisken﹚ 等人的共同努力下 ， 幾何上的 非線性分析已匯成大流 。 然而，認為我的奮鬥目標是獎項，是成名成 家，那就不對了。到目前為止，有的已經解 掉了，但有的還是迄立不動。 一九七九年我們在高等研究所舉辦微分幾何 年。 和蕭蔭棠一 起 ， 我們利用極小曲面作為工具 ， 解決了複 幾何上有名的法恩科 ﹙ Frenkel﹚ 猜想 。和理察一起，我們終於解決了那個使 我念念不忘的有關廣義相對論的難題。 2 .史密斯猜想的證明 ， 這是與霍斯頓 ﹙ Thurston﹚ 工作結合的成果。 他的 景況不大好 。 卡拉 比博士現(xiàn)已從賓夕凡尼亞大學退休 。 當時我認為我首先瞭解到 Kahler幾何的曲率結構 後，有物我相融的感覺 ︰ 落花人獨立 微雨燕雙飛 紐約時報 2022年 9月 2日 宇宙一懸案 眾人答案殊 弦理論中的一個困難在於它要用十維的時空來描述 ， 而 我 們 生 存 的 空 間 只 有 四 維 而 已 。 屈原 固余心之所善兮， 雖九死而猶未悔。我和鄭紹遠合作研究蒙奇 ─安培方程、仿 射幾何、極大曲面等相關問題。為卡拉比猜想舉出反例，其論 據(jù)是先假設它是對的，然後考慮其後果。在我的研 究生涯中，這可說是最痛苦的經歷了。我發(fā)表了我的想法，反應似乎 不錯，沒人提出異議。賦予空 間的數(shù)學解釋，與空間物理導出數(shù)學問題， 兩者皆令人神往。 我剛到史丹福時，一個幾何大會正在舉行。 史丹福環(huán)境安寧，非線性偏微分方程很出色。 由於簽証的問題，我到了紐約石溪分校。但我 還是到那兒去了。在我的影響下，鄭紹遠研究了 有關的特徵值及特徵函數(shù)等問題。 我對幾何中的所有分析內容都感興趣。在此