微積分在積分不等式證明中的應用(文件)
【正文】 微分在積分不等式中的應用主要是利用微分中值定理、泰勒公式、函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、凸函數(shù)法等來證明積分不等式．以下對這些方法分別做詳細的介紹. Lagrange 中值定理證明積分不等式 引理 [10](Lagrange 中值定理) 如果函數(shù) ，滿足下列條件:)(xfy?(1)在閉區(qū)間 上連續(xù)；??ba,(2)在開區(qū)間 內(nèi)可導，)(則在區(qū)間 內(nèi)至少存在一點 ，使得, ?．a(chǎn)bff???)()(由于 在 之間，因此 將有一個取值范圍，即 有?ba, abff???)()(?一個取值范圍，這樣就得到了一個不等式．因此，可利用 在區(qū)間 內(nèi)的特,點證明積分不等式．例 若函數(shù) 在 上具有連續(xù)的導數(shù)，且 .試)(xf??ba, 0)(?bfaf證明 .?? dfabxfbbax ????)()(4)m239。?其中 ， .),2(bax?),(?因此 ；8)()(222abMdxdxfbaba???????.8)()(222abdxdxfbaba???????從而，4)(8)()(22abMdxfba??????即 .dxfabMb???)()(42例 設函數(shù) 在 上具有連續(xù)的導數(shù)， ，且f??2,0 1)2(0?f，證明： .1)(39。39。 0)(?af.2)(bdxf??證 由 Lagrange 中值定理知.)()(39。39。39。 !)1()1( ????fxf ?),(x??由 ，有0)(f.????)(max31)1(ax2)(39。,fMbax??.24)()(3aMdxfba???證 將 在 點 Taylor 展開，并注意到 .得)(xf2?? 0)(??bf，239。39。 ????? ??dxtgfxtf dxgftftta atat于是可知 單調(diào)不減，又 ，所以 .)(tF0)(?aF0)(?bF即得證 .dxgxfdxgf bbba ???222 函數(shù)凹凸性證明積分不等式定義 [10] 設 在區(qū)間 上有定義,若對 上的任意任意兩點)(fII和任意實數(shù) 恒有21,x)1,0(??，)(1)(22xfxfxf ???????則稱 在 ，如果總有)(fI，)( 2121 fff?則稱 在 上是凹函數(shù)．xf如果函數(shù) 在 內(nèi)具有二階導數(shù),那么就能利用二階導數(shù)的符號來判定曲)(I.引理 [10] 設 在區(qū)間 上二階可導,那么)(xfI(1)若在 上 ,則 在 上為凸函數(shù)；I0??f(2)若在 上 ,則 在上 為凹函數(shù).?f例 設 是 上連續(xù)的凸函數(shù)，即對 , ，)(xf??ba??bax,21??21x?及 ，有??1,???臨沂大學 2022 本科畢業(yè)論文（設計） 11 .??)(1)()1( 22xfxfxf ???????試證明： .()2( badfabf??證 .??)2())(21))(21)(bafdxxfdbafxxdfbababa??????????從而得左不等式，下證右不等式，有 ，??bax,??baxx?從而 .)()()(fff??兩邊積分得 .2bfdxfba?于是得右不等式.故命題成立. 積分證明積分不等式 定積分性質(zhì)證明積分不等式運用定積分的性質(zhì)證明積分不等式是比較簡單的做法，在解某些積分不等式時，能得出良好的結(jié)果．例 若函數(shù) 在 上連續(xù)，且 ，求證：)(xf??ba, 0)(?xf.dadfb?????ln1)1ln證 將區(qū)間 進行 n 等分，并設 ， .??ba, )(ixi??),1(ni??于是， .利用 在 是凹函數(shù)，則xi)(??l???,0臨沂大學 2022 本科畢業(yè)論文（設計） 12 .)(1ln)(l1iinii xfxf????即 .)(l()(ln11iiii fabxfab????????由假設條件知， 與 在 上都連續(xù)，因此可積，在上式中令f)lf??,，則由定積分定義及 的連續(xù)性可得：???(nx.)(1l)l1?? ?????niiini ii xfabfab故 .dxfdxfbaa???(l)(ln(例 已知 在 上連續(xù)，對任意的 x,y 都有??1,0.求證：yMyfx??)( nMkfnfn 2)(1)(?????證 由于 ???nkndxfdxf11)()(因此.nMdxknfdxkfdxfnfdxf nkknkknkn 2)()()()(111111?????????????故命題成立. Schwarz 不等式證明積分不等式引理 [11]（Schwarz 不等式） 若函數(shù) 在區(qū)間 上皆可(),fxg],[ba積，則.????dfdxgf bababa )()(])([ 222例 設函數(shù) 在 上連續(xù)， ，且 ，試證f??, 0?xf 1?xfba明： .1)sin)()cos)( 22???? dkfdxkbaba )(為 實 數(shù)k臨沂大學 2022 本科畢業(yè)論文（設計） 13 證 由 Schwarz 不等式知， 22 )cos()(cos)(????baba kxfxfdxkf）（ dfdfba2?? xkxba?2cos)()( .df?2同理可得 .xkfdxkfbaba???22sin)()sin)(因此 .1)()sinco)si)()cos)( 2222??????? dxf dxkfxf bababa例 設 ，試證明：0?a.3sinsin204xxda?????證 作變換 ，則 .2??tx dxx??20sin0sin??由 Schwarz 不等式可得.4)1()(32022sinsin20sin0s
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