【正文】 切線方程應(yīng)是x=0，它的傾角α＝.圖25由冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式顯然，在x=0時(shí)，導(dǎo)數(shù)y′=∞.這恰好描述了該曲線在原點(diǎn)(0，0)處的切線斜率tan＝∞.一般說來，若函數(shù)在=處有＝∞，正說明曲線在點(diǎn)(，)處有垂直于x軸的切線，切線方程為=.5. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義由導(dǎo)數(shù)定義知，.在經(jīng)濟(jì)分析中，通常用“邊際”這個(gè)概念來描述一個(gè)變量y關(guān)于另一個(gè)變量x的變化情況.“邊際”表示在x的某一個(gè)值的“邊緣上” y的變化情況，這是y的瞬時(shí)變化率，.我們以總成本和邊際成本為例來說明邊際概念.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，邊際成本是指生產(chǎn)最后增加的那個(gè)單位產(chǎn)品所花費(fèi)的成本。；(12) ()′＝v′(x).(2) 乘積u(x)v(x)在點(diǎn)x取得改變量Δx，相應(yīng)的y的改變量.因?yàn)閡=u(x),v=v(x)可導(dǎo)，且可導(dǎo)必連續(xù)，于是y′＝＝v(x)u′(x)+u(x)v′(x).，對(duì)三個(gè)函數(shù)的乘積，有［u(x)w(x)+u(x)w′(x).例1 設(shè)，求y′.解 由代數(shù)和及乘法法則，可得＝()′+(2)′+(sin)′＝()′+ ()′+2()′+0＝4 + +2()＝4 + 2.例2 設(shè)，求y′.解 由代數(shù)和及乘法法則，可得 ＝.例3 證明： 若，則.證 由于已證()′＝，()′＝，可得＝.同樣可證()′＝()′＝＝.例4 證明： 若，則；，通過例題講述直接由隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的思路.例1 設(shè)由方程＝1確定是的函數(shù)，求 .分析 按題設(shè)，在已給方程中，是自變量，是的函數(shù)，而是的函數(shù)，若將理解成是中間變量，需用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則.解 將所給方程兩端同時(shí)對(duì)自變量求導(dǎo)數(shù)，按前述分析，得＝0.將上式理解成是關(guān)于′的方程，由此式解出′，便得到對(duì)的導(dǎo)數(shù)， . 例2 設(shè)由方程＝0確定隱函數(shù),求′，′|x=0.解 先求導(dǎo)數(shù)′.將已給方程兩端對(duì)求導(dǎo)數(shù)，注意到方程中的是的函數(shù)，從而y是的復(fù)合函數(shù)，于是1′，于是′=.至此，我們得到了全部基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.2. 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法所謂對(duì)數(shù)求導(dǎo)法就是將所給函數(shù)兩端取對(duì)數(shù)，得到隱函數(shù)ln＝ln；然后按隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的思路，(或較繁的乘除式子)求導(dǎo)數(shù)，可簡化運(yùn)算.例4 求函數(shù)＝的導(dǎo)數(shù).解 ，既不能用冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，也不能用指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.將已知式兩端取對(duì)數(shù)，得ln＝′+′＝0，解出′，得所求導(dǎo)數(shù)′， ′＝.再求′|=0.由于在導(dǎo)數(shù)′的表示式中含有，須先將=0代入原方程中，求出與=0 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)w(x)+u(x)w(x)］′＝u′(x)v(x)］′＝u′(x)v(x)］可導(dǎo)，且［u(x)177。 導(dǎo)數(shù)公式與運(yùn)算法則一、 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式167。則，所以這段范圍內(nèi)的平均變化率等于，越小，這個(gè)平均變化率就越接近產(chǎn)量為時(shí)的總成本變化率。1. 曲線的切線斜率我們的問題是： 已知曲線L的方程，要確定過曲線L上點(diǎn)的切線的斜率.為此，先定義曲線的切線. 設(shè)是曲線L上的任一點(diǎn)，是曲線上與點(diǎn)鄰近的一點(diǎn)，割線便繞著點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)無限趨于點(diǎn)時(shí)割線的極限位置是T，則稱直線T為曲線L過點(diǎn)處的切線(圖21).簡言之，割線的極限位置就是切線.按上述切線定義，在曲線上取鄰近于點(diǎn)的點(diǎn)，割線的傾角為φ(圖22)，其斜率是點(diǎn)的縱坐標(biāo)的改變量Δy與橫坐標(biāo)的改變量Δx之比 ， 圖21 圖22用割線的斜率表示切線斜率，這是近似值；顯然，Δx越小，即點(diǎn)沿曲線越接近于點(diǎn)，其近似程度越好.現(xiàn)在讓點(diǎn)沿著曲線移動(dòng)并無限趨于點(diǎn)，即當(dāng)Δx→0時(shí)，割線將繞著點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)通過點(diǎn)，…而達(dá)到極限位置成為切線T(見圖21和圖22).所以割線的斜率的極限 tanα＝就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)處切線T的斜率，上式中的α是切線T的傾角.以上計(jì)算過程是： 先作割線，求出割線斜率；然后通過取極限，從割線過渡到切線，從而求得切線斜率.由上述推導(dǎo)我們可知，曲線在點(diǎn)與點(diǎn)的割線斜率，是曲線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y對(duì)橫坐標(biāo)x在區(qū)間［,+Δx］上的平均變化率；，后者反映了曲線的縱坐標(biāo)y隨橫坐標(biāo)x變化而變化，且在橫坐標(biāo)為處變化的快慢程度.2．產(chǎn)品總成本的變化率設(shè)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為，它是產(chǎn)量的函數(shù)，現(xiàn)在求產(chǎn)量為個(gè)單位時(shí)的總成本變化率。2．理解導(dǎo)數(shù)的概念的幾何意義及經(jīng)濟(jì)意義，會(huì)求函數(shù)在給定點(diǎn)的切線方程；理解微分的概念。(2) 極限；(3) ＝(0)，所以，函數(shù)在x＝0處連續(xù).由函數(shù)在點(diǎn)左極限與右極限的定義，立即得到函數(shù)在點(diǎn)左連續(xù)與右連續(xù)的定義.若＝f(x0)，則稱函數(shù)在點(diǎn)左連續(xù)；若＝f(x0)，則稱函數(shù)在點(diǎn)右連續(xù).由此可知，函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件是： 函數(shù)在點(diǎn)既左連續(xù)，又右連續(xù)，即＝＝.例2 討論函數(shù)＝在x＝0處的連續(xù)性.解 這是分段函數(shù)，在分段點(diǎn)x＝0處的左右兩側(cè)須分別討論左連續(xù)和右連續(xù). 因?yàn)閒(0)＝0；又 ＝0＝f(0)； ＝0＝f(0)，即函數(shù)在點(diǎn)x＝0既左連續(xù)，又右連續(xù)，所以它在x＝0處連續(xù).函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義，很自然的可以推廣到一個(gè)區(qū)間上.若函數(shù)在開區(qū)間(a,b)上每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)在(a,b)上連續(xù)，或稱為(a,b)上的連續(xù)函數(shù).若函數(shù)在開區(qū)間(a,b)上連續(xù)；又在端點(diǎn)a處右連續(xù)，在端點(diǎn)b 處左連續(xù)，即有：則稱函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù).3.函數(shù)的間斷點(diǎn).若函數(shù)在點(diǎn)不滿足連續(xù)的定義，則稱這一點(diǎn)是函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)，若是函數(shù)的間斷點(diǎn)，按()式，所有可能出現(xiàn)的情況是： 或者函數(shù)在的左、右鄰近有定義，而在沒有定義；或者極限不存在；或者極限 存在，但不等于.(1) 可去間斷點(diǎn)若極限存在,而函數(shù)在處沒有定義或在有定義,但，則稱點(diǎn)為函數(shù)的可去間斷點(diǎn).對(duì)可去間斷點(diǎn)，可通過補(bǔ)充或改變函數(shù)在處的定義使變?yōu)楹瘮?shù)的連續(xù)點(diǎn).例3 函數(shù)＝ 在x＝2處，因?yàn)椋?,而f(2)＝3，所以x＝2是函數(shù)的可去間斷點(diǎn).這時(shí)，改變函數(shù)在x＝2處的函數(shù)值，使其等于極限值，即令f(2)＝5，有(此處的函
數(shù)與原給函數(shù)已經(jīng)不相同，但從問題的性質(zhì)出發(fā)，此處仍記作，以下均如此.)f(x)＝則函數(shù)在x＝2處就由間斷變?yōu)檫B續(xù)了.例4 函數(shù)f(x)＝在x＝0處沒有定義，x＝＝e,所以，x＝0是函數(shù)的可去間斷點(diǎn).這時(shí)，在x＝0補(bǔ)充定義函數(shù)值，令其函數(shù)值等于極限值：f(0)＝0，即f(x)＝顯然，函數(shù)f(x)在x＝0就連續(xù)了.(2) 跳躍間斷點(diǎn)若函數(shù)在點(diǎn)處的左、右極限都存在，但不相等，則稱是函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn).例5 x＝0是函數(shù)= ＝1＝1 可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn),其余間斷點(diǎn)均稱為第二類間斷點(diǎn).例如，由于當(dāng)x→0時(shí)，y＝→∞，故x＝0是函數(shù)y＝的第二類間斷點(diǎn)，這時(shí)曲線y＝以直線x＝，啟發(fā)我們可在函數(shù)的間斷點(diǎn)處去尋求曲線的鉛垂?jié)u近線.二、 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可以證明：(1) 基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的.(2) (x)和g(x)在點(diǎn)連續(xù)，則這兩個(gè)函數(shù)的代數(shù)和f(x)177。 (2) 。如一年計(jì)息1期，是按8%計(jì)息；一年計(jì)息12期，%計(jì)算；一年計(jì)息100期，%計(jì)算；若連續(xù)復(fù)利計(jì)算，%計(jì)算。14＝1.由該題計(jì)算結(jié)果知，對(duì)多項(xiàng)式＝，有＝＝.例2 求.解 因分母的極限()＝+2=AB.特別有(i) 常數(shù)因子C可提到極限符號(hào)的前面，即=C=CB.(ii) 若n是正整數(shù)，有=［］n=An.(3) 若＝B≠0，商的極限存在，且=.下面只證明乘法法則，其他法則可類似證明.證 由題設(shè)=A, =B.根據(jù)函數(shù)的極限與無窮小間的關(guān)系，有f(x)=A+α， g(x)=B+β，其中α，f(x) (7) .為了統(tǒng)一地論述它們共有的性質(zhì)和運(yùn)算法則，本書若不特別指出是其中的哪一種極限時(shí)，將用lim或limy泛指其中的任何一種，只就一種情形x→來證明.三、 無窮小與無窮大1. 無窮小及其性質(zhì) 極限為零的變量稱為無窮小.由無窮小定義知，若limy=0，則稱變量y是無窮小，例如易判定＝0，所以，當(dāng)n→∞時(shí)，變量是無窮小.因?yàn)?=0(見圖15)，所以，當(dāng)x→0時(shí)，變量無窮小.無窮小是一個(gè)變量，.在常量函數(shù)中，惟有0函數(shù)是無窮小，這是因?yàn)閘im0＝0.由無窮小的定義，容易理解無窮小的下述運(yùn)算性質(zhì)：(1) 兩個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮?。华?2) 無窮小與有界變量的乘積是無窮?。华?3) 兩個(gè)無窮小的乘積是無窮?。华?4) 無窮小與常量的乘積是無窮小.例10＝0，這是因?yàn)椋?dāng)x→0時(shí)，x是無窮小，是有界變量：||≤1，由無窮小的運(yùn)算性質(zhì)(2)，便有上述結(jié)果.例11＝0，這是因?yàn)?，?dāng)x→∞時(shí)，是無窮小，是有界變量：||≤1，由無窮小的運(yùn)算性質(zhì)(2)，便有上述結(jié)果.函數(shù)的極限與無窮小之間有下述關(guān)系. 極限lim存在且等于A的充分必要條件是函數(shù)f(x)可表示為常數(shù)A與無窮小α的和，即lim.例如，因=， 而當(dāng)x→∞時(shí)，→0， 即當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)可表示為常數(shù)1和無窮小的和，所以 (當(dāng)x→∞時(shí)，→0).2. 無窮大 limy=∞.例如，當(dāng)x→0時(shí)，y=的絕對(duì)值||將無限增大(見圖111)，即當(dāng)x→0時(shí)，=∞.在某一變化過程中，變量y是無窮大，它沒有極限，不過它的變化趨勢(shì)是確定的，我們是借用極限的記法表示它的變化趨勢(shì)，記作limy＝∞，也稱變量y的極限是無窮大.又如，當(dāng)x→+∞時(shí)，y=，稱當(dāng)x→+∞時(shí)，y=是正無窮大，并記作(圖130)＝+∞；當(dāng)x→時(shí)， y=取負(fù)值，且其絕對(duì)值無限增大. 這時(shí)稱當(dāng)x→時(shí)，y=是負(fù)無窮大，并記作(圖130)＝∞. 圖130從幾何上看，上式的意義是： 曲線y=在x=0的右側(cè)向下無限延伸且越來越接近直線x==0是曲線y=的鉛垂(因直線x=0垂直于x軸)漸近線.同樣， 極限式=∞ 的幾何意義是曲線y=在直線x=0的兩側(cè)分別向下、向上無限延伸，且以直線x=0為鉛垂?jié)u近線(見圖111).3. 無窮小與無窮大的關(guān)系由無窮小與無窮大的定義可以得到二者之間有如下結(jié)論.在同一變化過程中： (1) 若y是無窮大，則是無窮??；(2) 若y是無窮小且y≠0，則 是無窮大.例如，當(dāng)x→1時(shí)，y=x1是無窮小，而是無窮大.四、 極限存在準(zhǔn)則 (夾逼性質(zhì)) 設(shè)在點(diǎn)的某空心鄰域內(nèi)，有h(x)≤f(x)≤g(x),且 h(x)= g(x)=A， 則極限存在，且＝A (數(shù)列極限存在準(zhǔn)則) 單調(diào)有界數(shù)列必有極限.單調(diào)有界數(shù)列包括兩種情形： 一種是單調(diào)增加而有上界；一種是單調(diào)減少而有下界.對(duì)數(shù)列｛｝的一切項(xiàng)： (1) 若有≤(n=1,2,…)，則稱數(shù)列是單調(diào)增加的；(2) 若有≥(n=1,2,…)，則稱數(shù)列是單調(diào)減少的.單調(diào)增加與單調(diào)減少的數(shù)列，統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.例如，數(shù)列{}： ，…； ()由于()中后一項(xiàng)總大于前一項(xiàng)，所以它是單調(diào)增加；又因?yàn)橐话沩?xiàng)1，所以它有上界，易判定=1.167。 (3) 。 經(jīng)濟(jì)函數(shù)一、 需求函數(shù)與供給函數(shù)1．需求函數(shù).，Q為因變量，便有需求函數(shù)Q＝，P≥0.一般說來，需求隨價(jià)格上漲而減少，＝(Q)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中也稱為需求函數(shù)，有時(shí)稱為價(jià)格函數(shù).下列函數(shù)可作為需求函數(shù)：線性函數(shù) ；二次函數(shù) ；指數(shù)函數(shù) ；冪函數(shù) .2． 供給函數(shù)供給是指在某一時(shí)期內(nèi)，生產(chǎn)者在一定價(jià)格條件下，.假設(shè)供給與價(jià)格之間存在著函數(shù)關(guān)系，視價(jià)格P為自變量，供給Q為因變量，便有供給函數(shù)，記作Q＝f(P)，P＞0.一般情況，假設(shè)供給函數(shù)是單調(diào)增加的，供給曲線如圖121所示. 圖120 圖121常見的供給函數(shù)有如下形式：線性函數(shù) ；二次函數(shù) ；指數(shù)函數(shù) ；冪函數(shù) .二、 成本函數(shù)1．總成本函數(shù)： .若以Q表示產(chǎn)量，C表示總成本，則C與Q之間的函數(shù)關(guān)系稱為總成本函數(shù)，記作C＝C(Q)＝C0+V(Q)，Q≥0，其中C0≥0是固定成本，V(Q)，總成本曲線如圖122所示.一般情況下，總成本函數(shù)具有下列性質(zhì)： (i) 單調(diào)增函數(shù)，這是因?yàn)楫?dāng)產(chǎn)量增加時(shí)，成本總額必然隨之增加；(ii) 固定成本非負(fù)，即C0＝C(0)≥，在尚沒生產(chǎn)商品時(shí)，也需要支出，(0)理解為固定成本： C(0)＝C0. 圖122 圖123下列函數(shù)可作為成本函數(shù)：線性函數(shù) ；二次函數(shù) ；三次函數(shù) .2． 平均成本函數(shù)