微積分基本概念(文件)
【正文】 凸弧.′=在（－∞,∞＋）上嚴(yán)格單調(diào)遞減,但″=12≤0,因此（1）,（2）均不充分,″≤0,則（1）,（2）均充分,.2．反函數(shù)【】 設(shè)函數(shù)的定義域為,值域為,如果對于每一個,都有惟一確定的與之對應(yīng),且滿足是一個定義在以為自變量的函數(shù),記作并稱其為反函數(shù).習(xí)慣上用作自變量,作因變量,因此反函數(shù)常記為.函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對稱.嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù),.[0,+∞]的反函數(shù)為,而（－∞,0）的反函數(shù)為（圖12（b））.3．復(fù)合函數(shù)【】 ,uR,若非空,則稱函數(shù),稱為自變量,稱為中間變量.4．初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次復(fù)合運算而得到的一切函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù),初等函數(shù)在其定義域內(nèi)有統(tǒng)一的表達(dá)式.（四）隱函數(shù)若函數(shù)的因變量明顯地表示成的形式,.設(shè)自變量與因變量之間的對應(yīng)法則用一個方程式表示,如果存在函數(shù)（不論這個函數(shù)是否能表示成顯函數(shù)）,將其代入所設(shè)方程,使方程變?yōu)楹愕仁剑?如方程可以確定一個定義在[0,1],即但并不是所有隱函數(shù)都可以用的顯函數(shù)形式來表示,如因為我法用初等函數(shù)表達(dá),并不是任何一個方程都能確定隱函數(shù),如.（五）分段函數(shù)有些函數(shù),對于其定義域內(nèi)的自變量的不同值,不能用一個統(tǒng)一的解析式表示,而是要用兩個或兩個以上的式子表示,這類函數(shù)稱為分段函數(shù),如都是定義在（－∞,＋∞）上的分段函數(shù).分段函數(shù)不是初等函數(shù),它不符合初等函數(shù)的定義.二、極限（不在考試大綱內(nèi),只需了解即可）極限是微積分的基礎(chǔ).（一）數(shù)列極限按照一定順序排成一串的數(shù)叫做數(shù)列,如稱為通項.1．極限定義【】 設(shè)數(shù)列,當(dāng)項數(shù)無限增大時,若通項無限接近某個常數(shù),則稱數(shù)列收斂于A,或稱A為數(shù)列的極限,記作否則稱數(shù)列發(fā)散或不存在.2．?dāng)?shù)列極限性質(zhì)（1）四則極限性質(zhì) 設(shè),則（2） （為任意正整數(shù)）.（3）若,則數(shù)列是有界數(shù)列.（4）夾逼定理 設(shè)存在正整數(shù),使得時,數(shù)列滿足不等式.若,則.利用此定理可以證明重要極限 （,是一個無理數(shù)）.（5）單調(diào)有界數(shù)列必有極限 設(shè)數(shù)列有界,且存在正整數(shù),使得對任意都有（或）,則數(shù)列的極限一定存在.利用此定理可以證明重要極限 （,是一個無理數(shù)）.（二）函數(shù)的極限1．時的極限【】 設(shè)函數(shù)在上有定義,當(dāng)時,函數(shù)無限接近常數(shù)A,則稱當(dāng)時以A為極限,記作當(dāng)或時的極限當(dāng)沿數(shù)軸正（負(fù)）方向趨于無窮大,簡記（）時,無限接近常數(shù)A,則稱當(dāng)（）時以A為極限,記作3．時的極限【】 設(shè)函數(shù)在附近（可以不包括點）有定義,當(dāng)無限接近時,函數(shù)無限接近常數(shù)A,則稱當(dāng)時,以A為極限,記作4．左、右極限若當(dāng)從的左側(cè)（）趨于時,無限接近一個常數(shù)A,則稱A為時的左極限,記作 或 若當(dāng)從的左側(cè)（）趨于時,無限接近一個常數(shù)A,則稱A為時的右極限,記作 或 （三）函數(shù)極限的性質(zhì)1．惟一性若,則A=B.2．局部有界性（點可以除外）,是有界的.3．局部保號性＞0（或A＜0＝,則存在的某鄰域（點可以除外）,在該鄰域內(nèi)有＞0（或＜0＝。若。（若則稱是時的無窮大量）。（iii）有限個無窮小量的乘積仍為無窮小量。若，則稱點連續(xù)；若中每一點都連續(xù)，則稱點右連續(xù)。2．連續(xù)函數(shù)的運算連續(xù)函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算或復(fù)合而得到的函數(shù)仍然連續(xù)，因而初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)處處連續(xù)。2．若中至少有一個不存在，則稱為的第二類間斷點。【推論1】 設(shè)在上連續(xù)，m,M分別為最小值和最大值，且mM0,則至少存在一點。運算較熟練后,可不設(shè)中間變量,上式可寫作2176。作替換，可消去根式，化為代數(shù)有理式的積分。（3）分部積分法【】 【說明】 分部積分法是兩個函數(shù)乘積求導(dǎo)數(shù)公式的逆用。所選取的u和,要使積分較積分易于計算。(3),特別地, .定積分的幾何意義設(shè)在[a,b]上邊續(xù), 在幾何上表示介于i軸、曲線y=及直線之間各部分面積的代數(shù)和,在x軸上方取正號,在x軸下方取負(fù)號.利用定積分的幾何意義,可以計算平面圖形的面積,也是考綱中要求的定義應(yīng)用內(nèi)容.【】(可積的必要條件) 若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上可積,則在[a,b]上有界.【】(可積的充分條件) 若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則在[a,b]上可積.【】(可積的充分條件) 在區(qū)間[a,b]上只有有限個間斷點的有界函數(shù)在該區(qū)間上可積.設(shè),在[a,b]上可積(1)為常數(shù)。2176。3176。奇偶函數(shù)積分 設(shè)上連續(xù),則3176。周期函數(shù)積分 設(shè)是以T為周期的周期函數(shù),則.5176。否則稱它是發(fā)散的.(求平面圖形的面積)(1)面積公式1176。曲線,和直線所圍圖形的面積(2)解題程序1176。3176。否則稱函數(shù)在間斷.【】(最值定理) 有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù),在D上必有最大值和最小值.【】(偏導(dǎo)數(shù)定義) 函數(shù)在點關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)記作。若且A0(或C0),則是極小值點.(2)若,則不是極值點.(3)若,不能判另是否為極值點.二、求偏導(dǎo)數(shù)的思路由偏導(dǎo)數(shù)的定義知,求偏導(dǎo)數(shù)仍是求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題,即.(1) 求偏導(dǎo)(函)數(shù)時,一般用一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式與運算法則.(2) 求在某定點的偏導(dǎo)數(shù)時,可采取兩種方法:1176。(2)判定 。先作輔助函數(shù)(稱拉格朗日函數(shù)),其中(稱拉格朗日乘數(shù))是待定常數(shù).2176。最后比較,其中最大(最小)者,即為函數(shù)在D上的最大(最小)值.這是一般方法,實際上這樣做,將是極為復(fù)雜甚至是困難的.對于應(yīng)用問題,若已經(jīng)知道或能夠判定函數(shù)在區(qū)域D的內(nèi)部確實有最大(或最小)值。數(shù)學(xué)的題量并沒有減少很多，只是類型上作了改變，都改成選擇題。根據(jù)以往的教學(xué)經(jīng)驗，我建議考生在復(fù)習(xí)中注意以下幾點：不是背誦的背誦要先把教材吃透，對教材上的概念、定理、公式要認(rèn)真領(lǐng)會，牢牢掌握。所以說，書上的例題一定要達(dá)到看到題目就能立即反應(yīng)出考點和解題步驟。盲目地做題所達(dá)到的效果，更大的可能就是會的題永遠(yuǎn)會，不會的題總是不容易掌握。書店的參考書種類繁多，很難選擇，根據(jù)自身情況有選擇性的購買。所以總的來說還是要抓基礎(chǔ)，提高運算能力。上課主要聽概念，尤其注意教師強(qiáng)調(diào)的地方，這往往是容易出現(xiàn)錯誤的地方；聽定理證明的方法，而不要過
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