函數(shù)的凹凸性在不等式證明中的應(yīng)用(文件)
【正文】 ，正確理解凸函數(shù)的定義、性質(zhì)及應(yīng)用，更對(duì)有關(guān)學(xué)術(shù)問題進(jìn)行推廣研究起著舉足輕重的作用．關(guān)鍵詞 凸函數(shù)，凸函數(shù)判定定理Jensen不等式。判定定理：設(shè)為區(qū)間上的二階可導(dǎo)函數(shù)，則在上為凸函數(shù)的充要條件是，．證明：對(duì)于區(qū)間內(nèi)的任意（不妨設(shè)）以及，令，則有，由泰勒公式，得 及，其中，于是再進(jìn)一步由，所以即 。舉個(gè)我們熟悉的例子：在初等數(shù)學(xué)中，調(diào)和平均值不大于幾何平均值，幾何平均值不大于算術(shù)平均值，算術(shù)平均值不大于平方平均值，而證明用到數(shù)學(xué)歸納法．其實(shí)這些不等式可在凸函數(shù)框架下統(tǒng)一證明．例1 設(shè) ，證明： 證明 設(shè) ，有，從而，函數(shù)在是嚴(yán)格凸函數(shù)， 取 有 或 即 取 同樣方法，有 于是， ， 有 例2
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