高三數(shù)學拋物線(文件)
【正文】 AB的垂直平分線恒經(jīng)過定點 Q(6,0)，求拋物線的方程． 解： 設拋物線的方程為 y2=2px(p0)，其準線為 x= . 設 A(x1， y1)， B(x2， y2)，因為 |AF|+|BF|=8，所以 x1+ +x2+ =8，即 x1+x2=8p. 因為 Q(6,0)在線段 AB的中垂線上，所以由點 Q到 A、 B兩點距離相等易得 (x1x2)(x1+x212+2p)=0. 因為 AB與 x軸不垂直，所以 x1 x2， 故 x1+x212+2p=8p12+2p=0， 即 p=4. 從而拋物線方程為 y2=8x. 2p2p2p?變式 21 分別求滿足下列條件的拋物線方程． (1)拋物線的頂點在原點，對稱軸為 x軸，拋物線上一點 P(3， a)到焦點的距離為 5； (2)以原點為頂點，以坐標軸為對稱軸，并且經(jīng)過點 P(2， 4)． 解： (1)由已知設所求拋物線方程為 y2=2px(p0)，則準線方程為 x= ，因為拋物線上點 P(3， a)到焦點的距離為 5，由定義知 +3=5，從而得 p=4， 故所求的拋物線方程為 y2=8x. (2)由于拋物線過點 P(2， 4)，故設方程為 y2=2p1x(p10)或 x2=2p2y(p20)，將點 P(2， 4)代入得 p1=4， p2= ，故所求的拋物線方程為 y2=8x或 x2=y. 2p2p12題型三 直線與拋物線 【 例 3】 已知過拋物線 y2=2px(p0)的焦點 F的直線交拋物線于A(x1， y1)， B(x2， y2)兩點． 求證： (1)x1x2為定值； (2) 為定值． 11| | | |FA FB?證明： (1)拋物線 y2=2px的焦點為 F ，當直線 AB的斜率存在時，設直線 AB的方程為 y=k (k 0)． 由 消去 y，整理得 k2x2p(k2+2)x+ =0. 由韋達定理，得 x1x2= (定值 )． 當 AB⊥ x軸時， x1=x2= ， x1x2= 也成立． ,02p??????2px??????? ?222py k xy px? ????? ????????224kp24
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