【正文】
C = AC , AD = BD ,作 BE⊥ CD , E 為垂足,作 AH ⊥ BE 于 H ,求證: AH ⊥ 平面 BCD . 第 9 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【解答】 一方面,要證 AH ⊥ 平面BCD ,已有 AH ⊥ BE ,必須再證 AH 與平面 BCD 中的另一條直線垂直. 另一方面,等腰三角形底邊上的中線也是高,故一般常將底邊中點(diǎn)取出,并與頂點(diǎn)連接. 第 9 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ∵ BC = AC , ∴ 取 AB 的中點(diǎn),設(shè)為 F ,連接 CF ,則 CF ⊥ AB ;同樣因 DA = DB ,連接 DF ,有 DF ⊥ AB ,而 DF ∩ CF = F ,可見 AB ⊥ 平面 DCF , AB 與平面 DCF中的所有直線都垂直, ∴ AB ⊥ CD ,因 AB ∩ BE = B ,又可得 CD ⊥ 平面 ABE , ∴ CD ⊥ AH ,又 ∵ BE ⊥ AH ,CD ∩ BE = E , ∴ AH ⊥ 平面 BCD. 第 9 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【點(diǎn)評(píng)】 從此題看到 , 要證線面垂直 ( 如證直線 l ⊥ α ) ,必須在平面中找到兩條相交直線與此線垂直 ( 即在平面 α中找到兩條相交直線 a , b 與 l 垂直 ) , 要證 l ⊥ a , 常轉(zhuǎn)換為 a 垂直于包含 l 的平面 β. 這種利用 “ 線線垂直與線面垂直 ” 相互轉(zhuǎn)化的解題方法 , 是解決線面垂直或線線垂直問題的重要方法與策略 . 第 9 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 P 為 △ ABC 所在平面外一點(diǎn), PA = PB , BC ⊥平面 P AB , M 為 PC 的中點(diǎn). N 為 AB 上的點(diǎn),且 AN = 3 BN ,求證: AB ⊥ MN . 【解析】 要證 AB ⊥ MN ,只要證 AB ⊥ MN 所在的某平面,或證MN ⊥ AB 所在的某平面,后者從幾