【正文】 ＋ 1＝ an＋ n ( n ≥ 2 ) ， a2＝ 2 ， an＝ a2＋ ( a3－ a2) ＋ ( a4－ a3) ＋ ? ＋ ( an－ an － 1) ＝ 2 ＋2 ＋ 3 ＋ ? ＋ ( n － 1 ) ＝ 2 ＋? n － 2 ?? n ＋ 1 ?2， 所以 an＝12n2－12n ＋ 1 ( n ≥ 2 ) ； ( 3 ) 因?yàn)?a n b n ＝ 1 ，所以 b n ＝2n2－ n ＋ 22n2－ n＝ 2????????1n － 1－1n. ∴ b 2 ＋ b 3 ＋ b 4 ＋ ? ＋ b n 211－12＋12－13＋ ? ＋1n － 1－1n＝2??????1 －1n2. 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查探索能力 、 類比歸納能力 ， 通過抓住問題的實(shí)質(zhì) ， 探討共同的屬性 ， 可以由特殊型命題直接歸納概括出一般型命題 ． 第 15 講 │ 課本挖掘提升 。 2q － r＝ 2p － r＋ 1 ?? ( * ) 由于 p ， q ， r ∈ N*， 且 p q r ， 知 q － r ≥ 1 ， p － r ≥ 2 ， 所以 ( * ) 式左邊為偶數(shù) ， 右邊為奇數(shù) ， 故數(shù)列 { b n } 中不存在不同的三項(xiàng) b p ， b q ， b r ( p ， q ， r ∈ N*)恰好成等差數(shù)列 ． 第 15 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【點(diǎn)評(píng)】 “ 特殊性存在于一般性之中 ” 這個(gè)哲學(xué)原理道出了演繹推理的實(shí)質(zhì) ； 其實(shí) ， 我們學(xué)習(xí)的演繹推理實(shí)際上就是從一般性的原理出發(fā) ， 推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論 ． 顯然 ， 只要一般性原理正確 ， 推理形式不出錯(cuò)誤 ， 那么由此產(chǎn)生的結(jié)論一定正確 ； 這也正是我們證明數(shù)學(xué)結(jié)論 、 建立數(shù)學(xué)體系的重要的思維過程 ． 已知數(shù)列 { a n } 的前 n 項(xiàng)和為 S n ， 且滿足 a n ＋ S n＝ 2. ( 1 ) 求 { a n } 的通項(xiàng) a n ； ( 2 ) 求證數(shù)列 { a n } 中不存在任意三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列 ； ( 3 ) 若從數(shù)列 { a n } 中依次抽取一個(gè)無限多項(xiàng)的等比數(shù)列 ， 使它的所有項(xiàng)之和 S 滿足461 S 113， 這樣的等比數(shù)列有多少個(gè) ？ 第 15 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【解答】 (1) 當(dāng) n ＝ 1 時(shí)， a1＋ S1＝ 2 a1＝ 2 ，則 a1＝ 1. 又 an＋ Sn＝ 2 ， ∴ an ＋ 1＋ Sn ＋ 1＝ 2 ，兩式相減得 an ＋ 1＝12an， ∴ { an} 是首項(xiàng)為 1 ，公比為12的等比數(shù)列， ∴ an＝12n － 1 . (2) 反證法：假設(shè)存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列，記為 ap＋ 1 ， a q ＋ 1 ， a r ＋ 1 ( p q r ) ， 則 2 2n － 1－ 2. 第 15 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 若數(shù)列 { b n } 中存在不同的三項(xiàng) b p ， b q ， b r ( p ， q ， r ∈ N*) 恰好成等差數(shù)列 ， 不妨設(shè) p q r ， 顯然 { b n } 是遞增數(shù)列 ， 則 2 b q ＝ b p ＋ b r ， 即 2 ( 3 z ＝ | z |2是除了復(fù)數(shù)相等以外進(jìn)行實(shí)虛轉(zhuǎn)化的另一重要橋梁 ． 逆用該等式 ， 可以對(duì)形如 a2＋ b2的因式進(jìn)行因式分解 ( a ， b∈ R ) ． 即 a2＋ b2＝ ( a ＋ b i )( a － b i ) ， 例如 x2＋ 2 ＝ ( x ＋ 2 i )( x － 2 i ) ，這樣 ， 在實(shí)數(shù)集內(nèi)不能分解的因式到復(fù)數(shù)集內(nèi)仍可分解 ． 5 ． 復(fù)數(shù)的幾何意義 ① 復(fù)數(shù)集 C 和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集合是一一對(duì)應(yīng)的 ， 即復(fù)數(shù) z ＝ a ＋ b i 對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn) Z ( a ， b ) ； ② 復(fù)數(shù)集 C 和復(fù)平面內(nèi)的向量所成的集合也是一一對(duì)應(yīng)的( 實(shí)數(shù) 0 與零向量對(duì)應(yīng) ) ， 即復(fù)數(shù) z ＝ a ＋ b i 對(duì)應(yīng)平面向量 OZ→. 第 14 講 │ 主干知識(shí)整合 ③ 復(fù)數(shù)的模 ： 向量的模 r 叫做復(fù)數(shù) z ＝ a ＋ b i 的模 ， 記作 | z |或 | a ＋ b i|. 如果 b ＝ 0 ， 那么 z ＝ a ＋ b i 是一個(gè)實(shí)數(shù) a ， 它的模等于 | a | ( 就是 a 的絕對(duì)值 ) ． 由模的定義可知 ： | z | ＝ | a ＋ b i| ＝ r ＝a2＋ b2( r ≥ 0 ， r ∈ R ) ． 6 ． 算法的特征 算法就是解決問題的方法 、 步驟 ， 而確定算法就是找到一個(gè)合適的 、 能在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)的解題方法與步驟 ， 它應(yīng)是一個(gè)規(guī)則的序列 ， 因此 ， 它具有以下五個(gè)重要的特征 ： ① 有窮性 ；② 確定性 ； ③ 有輸入 ； ④ 有輸出 ； ⑤ 可行性 ． 第 14 講 │ 主干知識(shí)整合 7 ． 兩種重要的結(jié)構(gòu) ( 1 ) 條件結(jié)構(gòu) 如圖 7 － 14 － 1 中虛線框內(nèi)是一個(gè)條件結(jié)構(gòu) ， 此結(jié)構(gòu)中含有一個(gè)判斷框 ， 算法執(zhí)行到此判斷給定的條件 P 是否成立 ，選擇不同的執(zhí)行框 ( A 框 、 B 框 ) ． 無論 P 條件是否成立 ， 只能執(zhí)行 A 框或 B 框之一 ， 不可能既執(zhí)行 A 框又執(zhí)行 B 框 ， 也不可能 A 框 、 B 框都不執(zhí)行 ． A 框或 B 框中可以有一個(gè)是空的 ，即不執(zhí)行任何操作 ． 第 14 講 │ 主干知識(shí)整合 (2) 循環(huán)結(jié)構(gòu) 在一些算法中要求重復(fù)執(zhí)行同一操作的結(jié)構(gòu)稱為循環(huán)結(jié)構(gòu)．即從算法某處開始，按照一定條件重復(fù)執(zhí)行某一處理過程．重復(fù)執(zhí)行的處理步驟稱為循環(huán)體． 循環(huán)結(jié)構(gòu)有兩種形式：當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)． ① 當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如圖 7 － 14 － 2 所示，它的功能是當(dāng)給定的條件 P 成立時(shí)，執(zhí)行 A 框， A 框執(zhí)行完畢后，返回來再判斷條件 P 是否成立，如果仍然成立，返回來再執(zhí)行 A 框，如此反復(fù)執(zhí)行 A 框，直到某一次返回來判斷條件 P 不成立時(shí)為止，此時(shí)不再執(zhí)行 A 框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)，繼續(xù)執(zhí)行下面的框圖． 第 14 講 │ 主干知識(shí)整合 ② 直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如圖 7 － 14 － 2 所示，它的功能是先執(zhí)行 A 框，然后判斷給定的條件 P 是否成立，如果 P 仍然不成立，則返回來繼續(xù)執(zhí)行 A 框，再判斷條件 P 是否成立．如此重復(fù)操作，直到某一次給定的判斷條件 P 成立為止，此時(shí)不再返回來執(zhí)行 A 框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)，繼續(xù)執(zhí)行下面的框圖． 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 14 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)一 流程圖及其簡(jiǎn)單運(yùn)用 例 1 下面的程序框圖可用來估計(jì) π 的值 ( 假設(shè)函數(shù)CON RND ( － 1,1) 是產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的函數(shù)，它能隨機(jī)產(chǎn)生區(qū)間 ( －1,1) 內(nèi)的任何一個(gè)實(shí)數(shù) ) ．如果輸入 1000 ，輸出的結(jié)果為 788 ，則由此可估計(jì) π 的近似值為 ________ ． ( 保留四位有效數(shù)字 ) 第 14 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 14 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【 答案 】 3. 15 2 【解析】 根據(jù)程序框圖的運(yùn)行可知 ， 在區(qū)間 ( － 1 , 1 ) 內(nèi)的1000 個(gè)數(shù)中滿足兩數(shù)平方和小于或等于 1 的有 788 個(gè) ． 換句話說 ： 在滿足????? － 1x1 ，－ 1y1的 1000 個(gè)數(shù)中 ， 又滿足 x2＋ y2≤ 1的數(shù)共有 7 88 個(gè) ， 由幾何概型可知π4＝7881000， 于是 π ＝ . 第 14 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【點(diǎn)評(píng)】 一個(gè)數(shù)學(xué)問題往往不是孤立的 ， 都是與其他知識(shí)聯(lián)系在一起的 ， 為此要求我們求解時(shí) ， 理清相互聯(lián)系的知識(shí)網(wǎng) ，結(jié)合基本技能共同出擊 ， 促使問題獲解 ． 本題設(shè)計(jì)十分巧妙 ，將幾何概型的概率與近似計(jì)算恰到好處地融為一體 ， 通過程序框圖展現(xiàn)在考生面前 ． 可以說它是一道 “ 小 ” 綜合題 ， 有一個(gè)知識(shí)點(diǎn)不過關(guān) ， 也不可能產(chǎn)生正確結(jié)論 ． 因此 ， 面對(duì)此題我們首先要認(rèn)準(zhǔn)本題的基本聯(lián)系 ( 即與哪些知識(shí)結(jié)合 ？ 求解時(shí) ， 將要用到