【正文】 CN2＝305，在Rt △ A1AN 中 NA1＝ A1A2＋ AN2＝4 305，連接 A1C1， A1F ，在 Rt △ A1C1F 中， A1F ＝ A1C21＋ C1F2＝ 14 ， 在 △ A1NF 中， c os ∠ A1NF ＝A1N2＋ FN2－ A1F22 A1N 湖南卷 ] 如圖 4 － 13 － 8 所示，在正方體ABCD － A1B1C1D1中， E 是棱DD1的中點． ( 1) 求直線 BE 與平面ABB1A1所成的角的正弦值； ( 2) 在棱 C1D1上是否存在一點 F ，使 B1F ∥ 平面 A1BE ？證明你的結(jié)論． 圖 4－ 13－ 8 【解答】 設(shè)正方體的棱長為 1 ，如圖所示，以 AB→， AD→，AA1→為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系． ( 1) 依題意，得 B ( 1,0,0) ， E??????0 ， 1 ，12， A ( 0,0,0) ， D ( 0,1,0) ，所以 BE→＝??????－ 1 ， 1 ，12， AD→＝ ( 0,1,0) ，在正方體 ABCD － A1B1C1D1中，因為 AD ⊥ 平面 ABB1A1， 所以 AD→是平面 ABB1A1的一個法向量． 設(shè)直線 BE 與平面 ABB1A1所成的角為 θ ， 則 s in θ ＝| BE→ BE→＝ 0 ，得????? － x ＋ z ＝ 0 ，－ x ＋ y ＋12z ＝ 0 ， 所以 x ＝ z ， y ＝12z ，取 z ＝ 2 ，得 n ＝ ( 2 , 1 , 2 ) ． 設(shè) F 是棱 C1D1上的點，則 F ( t, 1 , 1 ) ( 0 ≤ t ≤ 1) ，又 B1( 1 , 0 , 1 ) 所以 B1F→＝ ( t － 1 , 1 , 0 ) ，而 B1F ? 平面 A1BE ，于是 B1F ∥ 平面 A1BE ? B1F→ ，則有 c os 60176。 浙江卷 ] 如圖，平面 P A C ⊥ 平面 ABC ，△ ABC 是以 AC 為斜邊的等腰直角三角形， E ， F ， O分別為 PA ， PB ， AC 的中點， AC ＝ 16 ， PA ＝ PC ＝ 10. ( 1) 設(shè) G 是 OC 的中點，求證： FG ∥ 平面 B O E ； ( 2) 求證：在 △ ABO 內(nèi)存在一點 M ，使 FM ⊥ 平面B O E ，并求點 M 到 OA ， OB 的距離． 證明： ( 1 ) 如圖，連接 OP ，以 O 為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)B 、 OC 、 OP 所在直線為 x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系 O － xy z ， 則 O ( 0,0,0 ) ， A (0 ，－ 8,0 ) ， B ( 8,0,0 ) ， C ( 0,8,0 ) ， P ( 0,0 ,6) ，E (0 ，－ 4,3) ， F ( 4,0,3 ) ，由題意得 G ( 0,4,0 ) ，因 OB→＝ ( 8, 0,0) ，OE→＝ (0 ，－ 4,3) ，因此平面 B O E 的法向量為 n ＝ ( 0,3,4 ) ， FG→＝ ( － 4,4 ，－ 3) 得 n ， 即二面角 P － AC － D 的大小為 30176。 . ( 3 ) 在棱 SC 上存在一點 E 使 BE ∥ 平面 P A C . 由 ( 2 ) 知 DS→是平面 P A C 的一個法向量 ， 第 13講 │ 教師備用習(xí)題 且 DS→＝????????22a ， 0 ，62a ， CS→＝????????0 ，－22a ，62a ， 設(shè) CE→＝ t CS→， 則 BE→＝ BC→＋ CE→＝ BC→＋ t CS→＝ ????????－22a ，22a ? 1 － t ? ，62at ， 而 BE→ C B→＝ 0 ， 知 AC1⊥ CB . 又 BA1⊥ AC1， 從而 AC1⊥ 平面 A1BC . 第 13講 │ 教師備用習(xí)題 ( 2) 由 AC1→ n || n |＝2 217. ∴ CC1到平面 A1AB 的距離為2 217. 規(guī)律技巧提煉 第 13講 │ 規(guī)律技巧提煉 1 ．利用空間向量證明空間的位置關(guān)系，主要是先將線、面分別用它們的方向向量與法向量表示，再將它們的平行、垂直問題轉(zhuǎn)化為兩個向量的平行與垂直問題．另外，點、線的共面問題也可轉(zhuǎn)化為向量的共面問題來解決． 2 ．利用空間向量求角與距離問題，主要是將有關(guān)線、面所成的角轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角；將距離轉(zhuǎn)化為向量的模或直角三角形的一邊，通過向量夾角求出此直角三角形的一內(nèi)角，從而可求得此距離．但要注意線、面所成的角與向量夾角的關(guān)系，求出后，要注意調(diào)整結(jié)果． 。 AA1→＝ y ＋ 3 z ＝ 0 ，n ， AC ＝ BC ＝ 2 ， A 1 在底面 ABC 上的射影恰為AC 的中點 D ，又知 BA 1 ⊥ AC 1 . ( 1 ) 求證 ： AC 1 ⊥ 平面 A 1 BC ； ( 2 ) 求 CC 1 到平面 A 1 AB 的距離 ； 第 13講 │ 教師備用習(xí)題 【解答】 解法 1 ： ( 1 ) ∵ A1D ⊥ 平面 ABC ， ∴ 平面 AA1C1C ⊥ 平面 ABC ，又 BC ⊥ AC ， ∴ BC ⊥ 平面 AA1C1C ，得 BC ⊥ AC1， 又 BA1⊥ AC1， ∴ AC1⊥ 平面 A1BC . ( 2) 由 ( 1) 得 AC1⊥ A1C ，四邊形 AA1C1C 為菱形，故 AA1＝ AC ＝ 2. 又 D 為 AC 中點，知 ∠ A1AC ＝ 60176。 SD→＝ 0. 故 OC ⊥ SD ，從而 AC ⊥ SD . 第 13講 │ 教師備用習(xí)題 ( 2) 由題設(shè)知， 平面 P A C 的一個法向量 DS→＝????????22a ， 0 ，62a ， 平面 D A C 的一個法向量 OS→＝????????0 ， 0 ，62a ， 設(shè)所求二面角為 θ ，則 c os θ ＝OS→ 寧夏海南卷 ] 如圖，四棱錐 S － ABCD 的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的 2 倍， P 為側(cè)棱 SD 上的點． ( 1) 求證： AC ⊥ SD ； ( 2) 若 SD ⊥ 平面 P A C ， 求二面角 P － AC － D 的大小 ( 3) 在 ( 2) 的條件下，側(cè)棱 SC 上是否存在一點 E ，使得 BE ∥ 平面 P A C ． 若存在，求 SE ： EC 的值；若不存在， 試說明理由． 第 13講 │ 教師備用習(xí)題 【解答】 解法一： ( 1) 連接 BD ，設(shè) AC 交 BD 于 O ，由題意 SO ⊥ AC . 在正方形 ABCD 中， AC ⊥ BD ，所以 AC ⊥ 平面 S B D ，得 AC ⊥ SD . ( 2) 設(shè)正方形邊長 a ，則 SD ＝ 2 a . 又 OD ＝22a ，所以 ∠ S OD ＝ 60176。 AB→| AE→| ( 2 , 1 , 2 ) ＝ 0 ? 2( t － 1)＋ 1 ＝ 0 ? t ＝12? F 為 C1D1的中點．這說明在棱 C1D1上存在一點F ( C1D1的中點 ) ，使 B1F ∥ 平面 A1BE . 第 13講 │ 要點熱點探究 【點評】 確定某點的位置，或者判斷某種位置關(guān)系，這類題屬于一類探究問題，常常利用觀察、猜測、證明的方法，也可以先進行假設(shè)，在假設(shè)的條件下進行推理，再據(jù)推理結(jié)果來判斷假設(shè)的正誤．用向量坐標(biāo)給點定位使很多復(fù)雜問題變得比較簡單，請看下面變式． 第 13講 │ 要點熱點探究 在棱長為 1 的正方形 ABCD － A1B1C1D1的底面 A1B1C1D1內(nèi)取一點 E ，使 AE 與 AB 、 AD所成的角都是 60176。 | AD→|＝132 1＝23. 即直線 BE 與平面 ABB1A1所成 的角的正弦值為23. 第 13講 │ 要點熱點探究 ( 2 ) 依題意，得 A1( 0 , 0 , 1 ) ， BA→1＝ ( － 1 , 0 , 1 ) ， BE→＝??????－ 1 ， 1 ，12. 設(shè) n ＝ ( x ， y ， z ) 是平面 A1BE 的一個法向量， 則由 n 江西卷 ] 如圖 4 － 13 － 7 所示 ， △ BCD 與 △ M C D 都是邊長為 2 的正三角形 ， 平面 M C D ⊥ 平面 BCD ， AB ⊥平面 BCD ， AB ＝ 2 3 . 求點 A 到平面 M B C 的距離 ． 圖 4－ 13－ 7 【解析】 取 CD 中點 O ，連 OB ， OM ，則 OB ⊥ CD ， OM⊥ CD ，又平面 M C D ⊥ 平面 BCD ，則 MO ⊥ 平面 B C D . 以 O 為原點，直線 OC 、 BO 、 OM 為 x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖． OB ＝ OM ＝ 3 ，則各點坐標(biāo)分別為 O ( 0,0,0 ) ， C ( 1,0, 0) ，M ( 0,0 ， 3 ) ， B (0 ，－ 3 ， 0) ， A (0 ，－ 3 ， 2 3 ) ， 設(shè) n ＝ ( x ， y ， z ) 是平面 M B C 的法向量， 則 BC→＝ (1 ， 3 ， 0) ， BM→＝ (0 ， 3 ， 3 ) ， 由 n ⊥ BC→得 x ＋ 3 y ＝ 0 ；由 n ⊥ BM→得 3 y ＋ 3 z ＝ 0 ；取 n ＝ ( 3 ，－ 1,1) ， BA→＝ ( 0,0,2 3 ) ，則距離 d ＝| BA→ CM＝35， 所以異面直線 FE 與 A1D 所 成角的余弦值為35. 第 13講 │ 要點熱點探究 第 13講 │ 要點熱點探究 ( 2) 證明：連接 AC ，設(shè) AC 與 DE 交點 N 因為CDBC＝ECAB＝12，所以 Rt △ D C E ∽ Rt △ CBA ，從而 ∠ C D E ＝ ∠ BCA ，又由于 ∠ C D E ＋ ∠ CED ＝ 90176。 ED→＝ 0. 因此， AF ⊥ EA1， AF ⊥ ED ， 又 EA1∩ ED ＝ E . 所以 AF ⊥ 平面 A1ED . 第 13講 │ 要點熱點探究 ( 3) 設(shè)平面 EFD 的法向量 u ＝ ( x ， y ， z ) ，則????? u n ＝ 0 ＋14－14＝ 0 ， ∴ PQ→⊥ n ， 因 PQ ? 平面 DE F ，所以 PQ ∥ 平面 DE F . 第 13講 │ 要點熱點探究 【點評】 利用向量證明空間直線與平面的位置關(guān)系 ， 是將直線與平面分別用它們的方向向量與法向量來表示 ， 線 、 面的平行與垂直問題 ， 轉(zhuǎn)化為兩個向量的平行與垂直問題來解決 ． 通常是合理地建立坐標(biāo)系 ， 通過坐標(biāo)表示來處理 ． 第 13講 │ 要點熱點探究 要點熱點探究 第 13