【正文】 幾何的坐標(biāo)法有機(jī)地結(jié)合起來，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想． 教師備用習(xí)題 第 8 講 │ 教師備用習(xí)題 1 ． [ 2009 OA→＋ y OB→ OB→， 即????? c os α ＝ x －12y ，c os ? 120176。 c| a || c |＝－12. ∵ 0 ≤ 〈 a ， c 〉 ≤ π ， ∴ 〈 a ， c 〉＝2π3. 即向量 a ， c 的夾角為2π3. ( 2) f ( x ) ＝ 2 a b － 2 a ( AB→ － AC→ ) ＝ 18 ，求 c 的長． 【解答】 ( 1 ) m ( AB→－ AC→) ＝ 18 ， ∴ CA→ PA→. ( 3) AD 是 △ ABC 的內(nèi)角平分線 ? AD→＝ λ??????AB→| AB→|＋AC→| AC→|( λ 0) ． 。 PB→＝ PB→ n ＝ s in C . 又 ∵ m 4c os β － s in α s in β ＝ 0 ，所以 a ∥ b . 第 8 講 │ 教師備用習(xí)題 4 ． 已知向量 m ＝ ( s in A ， s in B ) ， n ＝ ( c os B ， c os A ) ，m 江蘇卷 ] 設(shè)向量 a ＝ ( 4c os α ， s in α ) ，b ＝ ( s in β ， 4c os β ) ， c ＝ ( c os β ，－ 4s in β ) ． ( 1) 若 a 與 b － 2 c 垂直，求 t an ( α ＋ β ) 的值； ( 2) 求 | b ＋ c |的最大值； ( 3) 若 t an α t an β ＝ 16 ，求證： a ∥ b . 第 8 講 │ 教師備用習(xí)題 【解答】 ( 1) 由 a 與 b － 2 c 垂直， a － α )] ＝ c os α ＋ 3 s in α ＝ 2s in??????α ＋π6≤ 2. 第 8 講 │ 教師備用習(xí)題 另解 ： 以向量 OA→所在直線為 x 軸 ， 以點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系 ， 則 OA→＝ ( 1 , 0 ) ， OB→＝????????－12，32，所以 OC→＝????????x －12y ，32y ， 由點(diǎn) C 在以 O 為圓心的圓弧 AB上變動 ， 可知 | OC→|＝ 1 ， ∴ x2＋ y2－ xy ＝ 1 ， 所以 1 ＝ x2＋ y2－ xy ≥? x ＋ y ?22－? x ＋ y ?24＝? x ＋ y ?24， 所以 x ＋ y ≤ 2 ， 當(dāng)且僅當(dāng)x ＝ y ＝ 1 時 ， x ＋ y 的最大值是 2. 第 8 講 │ 教師備用習(xí)題 2 ． 已知向量 a ＝ ( c os x ， s in x ) ， b ＝ ( － c os x ， c os x ) ，c ＝ ( － 1,0) ． ( 1) 當(dāng) x ＝π3時，求向量 a ， c 的夾角； ( 2) 當(dāng) x ∈??????0 ，π2時，求函數(shù) f ( x ) ＝ 2 a OB→＝ x OA→ . 如圖所示 ， 點(diǎn) C 在以O(shè) 為圓心的圓弧 AB 上變動 ． 若 OC→ ＝ x OA→ ＋ y OB→ ， 其中 x ， y ∈ R ， 則 x ＋ y 的最大值是 ________ ． 第 8 講 │ 教師備用習(xí)題 2 【解析】 設(shè) ∠ A OC ＝ α ， ????? OC→ CA→＝ 0 ， (2 x ， y ) b| a | 4 上海卷 ] 已知 △ ABC 的角 A 、 B 、 C所對的邊分別是 a 、 b 、 c ，設(shè)向量 m ＝ ( a ， b ) ， n ＝( s in B ， s in A ) ， p ＝ ( b － 2 ， a － 2) ． ( 1) 若 m ∥ n ，求證： △ ABC 為等腰三角形； ( 2) 若 m ⊥ p ，邊長 c ＝ 2 ，角 C ＝π3，求 △ ABC的面積． 第 8 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【解答】 ( 1 ) ∵ m ∥ n ， ∴ a s in A ＝ b s in B ， 即 a PB→＝ 0 ， ∴ CA→⊥ PB→， 同理， AP ⊥ BC ， ∴ P 為 △ ABC 的垂心，選 C. 第 8 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【 高考命題者說 】 【考查目的】 本題考查平面向量的加法運(yùn)算、減法運(yùn)算及其幾何意義，考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和平面向量的共線、垂直的判定． 【命制過程】 三角形的重心、外心、垂心是三角形的重要幾何元素，貫穿在中學(xué)教學(xué)的過程中．把考生熟悉的平面幾何問題用向量語言和方法表述，不僅可以考查考生對平面向量及其運(yùn)算意義的理解，而且可以考查考生的運(yùn)算能力和解決實(shí)際問題的能力． 【解題思路】 由 | OA→|＝ | OB→|＝ | OC→|知， O 為 △ ABC的外心；由 NA→＋ NB→＋ NC→＝ 0 知， N 為 △ ABC 的重心． 由 PA→ PA→， 則點(diǎn) O ， N ， P 依次是 △ABC 的 ( ) A ． 重心 、 外心 、 垂心 B ． 重心 、 外心 、 內(nèi)心 C ． 外心 、 重心 、 垂心 D ． 外心 、 重心 、 內(nèi)心 第 8 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 C 【解析】 由 | OA→|＝ | OB→|＝ | OC→|可知， O 是三角形的外心是顯然的； N 是三角形的重心，是因?yàn)椋喝【€段 AB 的中點(diǎn) D ，則 NA→＋ NB→＋ NC→＝ 0 ? NC→＝ － 2 ND→，所以 N ， C ， D 三點(diǎn)共線，并且 | N C→|＝ 2| ND→|，所以 N 三角形的是重心； ∵ PA→ AD→＝－2516. 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 8 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)二 有關(guān)向量的平行、垂直問題 例 2 [ 2009 b ＋ b2＝ 8 ＝ 2 2 . ( 2) 若 a 與 b 共線，則有 a ⊙ b ＝ mq － np ＝ 0 ，故 A 正確；因?yàn)?b ⊙ a ＝ pn － qm ，而 a ⊙ b ＝ mq － np ，所以有 a ⊙ b ≠ b ⊙ a ，故選項(xiàng) B 錯誤，故選 B. 【點(diǎn)評】 ( 1 ) 求向量的模 ， 用到數(shù)量積運(yùn)算 ， 比較基礎(chǔ) ； ( 2 ) 是在平面向量的基礎(chǔ)上 ， 加以創(chuàng)新 ， 理解向量語言 ， 運(yùn)用新知識解決問題 ， 突出了能力考查 ． 另外在向量的表示中 ， 要注意突出基底的作用 ， 請嘗試下面變式 ． 第 8 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 如圖 2 － 8 － 1 所示，平行四邊形的兩條對角線相交于點(diǎn) M ，點(diǎn) P 是 MD 的中點(diǎn)．若 | AB→|＝ 2 ，| AD→|＝ 1 ，且 ∠ BAD ＝ 60 176。 b ＝ x1x2＋ y1y2. 常用公式 ： | a |＝ x21＋ y21， c os θ ＝x1x2＋ y1y2x21＋ y21x22＋ y22， a ∥ b ? x1y2－ x2y1＝ 0 ， a ⊥ b ? x1x2＋ y1y2＝ 0. 四、應(yīng)用 在平面幾何和物理中有著重要的應(yīng)用 ． 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 8 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)一 向量的概念及運(yùn)算 例 1 ( 1 ) [ 2 0 1 0 | b |； ③ a b ＝ | a || b | c os θ ( θ 為向量 a ， b 的夾角，且 θ ∈ [0 ， π] )幾何意義：數(shù)量積等于向量 a 的模與向量 a 在向量 b 上的投影的乘積． 第 8講 │ 主干知識整合 ( 2 ) 性質(zhì) ： ① a 等； ( 2) 項(xiàng)的分拆與角的配湊： 如 s in2α ＋ 2c os2α ＝ ( s in2α ＋ c os2α ) ＋ c os2α ； α ＝ ( α － β ) ＋ β ， β ＝α ＋ β2－α － β2等； 第 7講 │ 規(guī)律技巧提煉 ( 3) 降次與升次： 正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； ( 4) 弦、切互化：一般是切化弦； ( 5) 公式的變形應(yīng)用：如 s in α ＝ c os α t an α ， s in2α ＝1 － c os 2 α2， c os2α ＝1 ＋ c os 2 α2， t an α ＋ t an β ＝ t an ( α ＋ β )(1 － t an α t an β ) ， 1177。 AC→＝ 12 ， a ＝ 2 7 ，求 b ， c ( 其中b c ) ． 第 7講 │ 教師備用習(xí)題 【解答】 ( 1 ) s in2A ＝ s in （π3＋ B ） s in （π3－ B ） ＋ s in2B ＝－14s in2B ＋34c os2B ＋ s in2B ＝34c os2B ＋34s in2B ， 得 s in2A ＝34， 又 A 是銳角三角形 △ ABC 的內(nèi)角，所以 A ＝π3. ( 2) 由 AB→ 時， s in B ＋ s in C 取得最大值 1. 【點(diǎn)評】 解三角形要把已知條件統(tǒng)一化簡到角( 或邊 ) ， 本題就是利用正弦定理統(tǒng)一到邊 ， 再用余弦定理求角 ， 其中 ( 2 ) 中的最值是一個難點(diǎn) ， 注意到式子中包含兩個角 ， 這時一般要考慮消去一個角 ， 這樣就實(shí)現(xiàn)角的轉(zhuǎn)化統(tǒng)一 ． 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 7講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)四 解三角形與實(shí)際應(yīng)用 例 4 某廣告公司為 2010 年上海世博會設(shè)計了一種霓虹燈，樣式如圖 2 － 7 － 1 所示中實(shí)線部分所示．其上部分是以 AB 為直徑的半圓，點(diǎn) O 為圓心，下部分是以 AB 為斜邊的等腰直角三角形， DE ， DF 是兩根支桿，其中 AB ＝ 2 米， ∠ E O A ＝∠ F O B ＝ 2 x （ 0 x π4） . 現(xiàn)在弧 EF 、線段 DE 與 DF 線段上裝彩燈，在弧 AE 、弧 BF 、線段 AD 與 BD 線段上裝節(jié)能燈．若每種燈的 “ 心悅效果 ” 均與相應(yīng)的線段或弧的長度成正比，且彩燈的比例系數(shù)為 2 k ，節(jié)能燈的比例系數(shù)為 k ( k 0) ，假定該霓虹燈整體的 “ 心悅效果 ” y 是所有燈 “ 心悅效果 ” 的和． 第 7講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ( 1) 試將 y 表示為 x 的函數(shù)； ( 2) 試確定當(dāng) x 取何值時，該霓虹燈整體的 “ 心悅效果 ” 最佳？ 圖 2 － 7 － 1 第 7講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【解答】 ( 1) 因?yàn)?∠ E O A ＝ ∠ F O B ＝ 2 x ，所以弧 EF 、AE 、 BF 的長分別為 π － 4 x, 2 x, 2 x . 連接 OD ，則由 OD ＝ OE ＝ OF ＝ 1 ， ∠ F O D ＝ ∠ E O D ＝2 x ＋π2， 所以由余弦定理得 DE ＝ DF ＝ 1 ＋ 1 － 2c os 2 x ＋π2＝2 ＋ 2s in 2 x ＝ 2 ( s in x ＋ c os x ) ， 所以 y ＝ 2 k [(2 2 ( s in x ＋ c os x ) ＋ π － 4 x ] ＋ k (2 2 ＋ 4 x ) ＝ 2 k [ ( 2 2 ( s in x ＋ c os x ) － 2 x ＋ 2 ＋ π] ． 第 7講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【 點(diǎn)評 】 本題是解三角形的實(shí)際應(yīng)用題，題目的背景新穎，構(gòu)思巧妙．解決本題一是要把握將文字?jǐn)⑹龊蛨D形結(jié)合起來讀懂，才能正確列出函數(shù)關(guān)系式；二是這個最值要用導(dǎo)數(shù)來處理，就很容易． ( 2) 因?yàn)橛?y ′ ＝ 4 k [( 2 ( c os x － s in x ) － 1] ＝ 0 ， 解得 c os x ＋π4＝12，即 x ＝