三角函數(shù)的單調(diào)性與值域(文件)
【正文】 k π ＋ π ]( k ∈ Z ) [2 k π ＋ π ， 2 k π ＋ 2 π ]( k ∈ Z ) 想一想 ： “ 正弦函數(shù)在第一象限內(nèi)是增函數(shù)． ” 這種說法正確嗎？ 提示 不正確．單調(diào)性是針對某一個區(qū)間而言的，在第一象限內(nèi)，若 α 1 ＝ α 2 ＋ 2 k π ，在 α 1 ≠ α 2 時， s i n α 1 ＝ s i n α 2 . 2 ． 正、余弦函數(shù)的最值及值域 正弦函數(shù) y ＝ s i n x ( x ∈ R ) ，當 x ＝ 時， y 最大 ＝ 1 ，當 x ＝ 時， y 最小 ＝－ 1 ；余弦函數(shù) y ＝ c o s x ( x ∈ R ) ，當 x ＝ 時， y 最大 ＝ 1 ，當 x ＝ 時， y最小 ＝－ 1. y ＝ s i n x 的值域為 ， y ＝ c o s x 的值域是 ． 2 k π ＋ π2 ， k ∈ Z 2 k π － π2 ， k ∈ Z 2 k π ， k ∈ Z 2 k π ＋ π ， k ∈ Z [ － 1 , 1 ] [ － 1 , 1 ] 名師點睛 1 ． y ＝ s i n x 與 y ＝ c o s x 單調(diào)性 ( 1) 正弦函數(shù)與余弦函數(shù)在定義域上不單調(diào)，說 “ 正弦函數(shù) ( 或余弦函數(shù) ) 在第一象限是增 ( 或減 ) 函數(shù) ” 是錯誤的． ( 2) 正弦函數(shù) y ＝ s i n x ( x ∈ R ) 的增區(qū)間為 2 k π －π2， 2 k π ＋π2( k ∈ Z )的含義是指在 k 取每一個整數(shù)時，正弦函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)，而不是 k 取每一個整數(shù)時，正弦函數(shù)在這些并集區(qū)間上為增函數(shù)． ( 3) 對求含有三角函數(shù)的復合函數(shù)的單調(diào)性，如 y ＝ A s i n ( ωx ＋ φ )其中 A 0 ， ω 0 的單調(diào)區(qū)間的確定，基本思想是把 ωx ＋ φ 看作一個整體．由 2 k π －π2≤ ωx ＋ φ ≤ 2 k π ＋π2， k ∈ Z ，解出 x 的范圍，所得區(qū)間即為增區(qū)間，若 A 0 ， ω 0 ，可用誘導公式將函數(shù)化簡為 y＝－ A s i n ( － ωx － φ ) ，則 y ＝ A s i n ( － ωx － φ ) 的增區(qū)間為原函數(shù)的減區(qū)間． 2 ． 正 ( 余 ) 弦函數(shù)的對稱性 ( 1) 軸對稱：對于正弦函數(shù) y ＝ s i n x ， x ∈ R ，我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)的圖象在每一個最值 ( 最大或最小 ) 點處都有對稱軸，方程為 x ＝ k π ＋π2， k ∈ Z ，而對于余弦函數(shù)，將正弦函數(shù)的圖象向左平移π2個單位長度得到，因此其對稱軸方程為 x ＝ k π ， k ∈ Z . ( 2) 中心對稱：對于正弦函數(shù) y ＝ s i n x ， x ∈ R ，其對稱中心為 ( k π ，0) ( k ∈ Z ) ，而對于余弦函數(shù)，其對稱中心為??????k π ＋π2， 0 ( k ∈ Z ) ．對稱軸和對稱中心都有無數(shù)個 . 題型一 求單調(diào)區(qū)間 【例 1 】 求函數(shù) y ＝ s i n??????π6－ x 的單調(diào)遞減區(qū)間． [ 思路探索 ] 本題中自變量的系數(shù)為負，故首先利用誘導公式
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