【正文】 。 － 10176。 2 c o s 2 0 176。s i n 7 0 176。 ＋ 1s i n 7 0 176。2 c o s22 0 176。 ， ∠ ADB ＝ 4 5 176。 ， ∠ ADC ＝ 3 0 176。 c o s 1 2 0 176。 － ( 3 0 176。 s i n ∠ BCDs i n ∠ C B D＝6 2232＝ 2 6 ， 第 7講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 BC ＝CD ， ∵ s i n 7 5 176。6 ＋ 2432＝ 3 2 ＋ 6 . 所以，炮艦 C 到目標(biāo) A ， B 的距離分別是 6 k m 和 (3 2 ＋ 6 ) k m ；炮艦 D 到目標(biāo) A ， B 的距離分別是 6 3 k m 和 2 6 k m . ( 2 ) 在 △ A B D 中，由余弦定理知 AB ＝ AD2＋ BD2－ 2 AD ( s i n A ＋ 3 c o s A ) －32＝0. 所以1 － c o s 2 A2＋32s i n 2 A －32＝ 0 ， 即32s i n 2 A －12c o s 2 A ＝ 1 ， 即 s i n 2 A －π6＝ 1. 因?yàn)?A ∈ (0 ， π) ，所以 2 A －π6∈ －π6，1 1 π6. 故 2 A －π6＝π2， A ＝π3. 第 7講 │ 教師備用題 (2) 由余弦定理，得 4 ＝ b2＋ c2－ bc . 又 S △ABC＝12bc sin A ＝34bc ， 而 b2＋ c2≥ 2 bc ? bc ＋ 4 ≥ 2 bc ? bc ≤ 4 ， ( 當(dāng)且僅當(dāng) b ＝ c 時(shí)等號(hào)成立 ) 所以 S △ABC＝12bc sin A ＝34bc ≤34 4 ＝ 3 . 當(dāng) △ ABC 的面積取最大值時(shí)， b ＝ c . 又 A ＝π3， 故此時(shí) △ ABC 為等邊三角形． 規(guī)律技巧提煉 第 7講 │ 規(guī)律技巧提煉 1 ． 三角函數(shù)恒等變換一般遵循 ： 從函數(shù)名 、 角 、 運(yùn)算三方面進(jìn)行差異分析 ， 再利用三角公式使異角化同角 ，異名化同名 ， 高次化低次等 ， 體現(xiàn)統(tǒng)一的思想 ． 2 ． 三角函數(shù)恒等變換的基本策略 ： ( 1 ) 常值代換 ： 特別是 “1” 的代換 ， 1 ＝ s i n2θ ＋ c o s2θ ＝t a n 4 5 176。 c o s θ 叫做向量 a 在向量 b 方向上的投影 ( θ 為向量 a ， b 的夾角 ) ． ( 1 ) a b| a | | b |. 第 8講 │ 主干知識(shí)整合 3 ．向量的坐標(biāo)運(yùn)算 設(shè) a ＝ ( x1， y1) ， b ＝ ( x2， y2) ，則 a ＋ b ＝ ( x1＋ x2， y1＋ y2) ， a－ b ＝ ( x1－ x2， y1－ y2) ， λa ＝ ( λx1＋ λy1) ， a b ＝ | a | b )2 第 8講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ( 1 ) C ( 2 ) D 【解析】 ( 1 ) 根據(jù)有關(guān)的知識(shí)逐個(gè)作出判斷，注意與實(shí)數(shù)運(yùn)算的區(qū)別． ① 是對(duì)的； ② 僅得 a ⊥ b ； ③ ( a ＋ b ) b ＝ | a | 和1 8 0 176。 a B ． | a b D ． | a a ； | a | b |錯(cuò)誤的； 根據(jù)實(shí)數(shù)與向量的乘法運(yùn)算法則 λ ( a | b | | c o s θ |≤ | a | ( 3 ， λ ) ＝ 0 ，即 3 ＋ 2 λ － λ2＝ 0 ，解得 λ ＝－ 1 或 λ＝ 3. 答案為－ 1 或 3. 方法 2 ：??????2 a － b ⊥ b ，故 (2 a － b ) b ＝ 0 ? s i n θ ＋ c o s θ ＝ 0 ， ∵ －π2 θ π2， ∴ θ ＝－π4. ( 2 ) | a ＋ b |＝ | ( s i n θ ＋ 1 ， c o s θ ＋ 1 ) | ＝ ? s i n θ ＋ 1 ?2＋ ? c o s θ ＋ 1 ?2 ＝ 3 ＋ 2 2 s i n θ ＋π4， ∵ －π2 θ π2， ∴ －π4 θ ＋π43π4， ∴ s i n θ ＋π4≤ 1 , 3 ＋ 2 2 s i n ( θ ＋π4) ≤ 3 ＋ 2 2 ， ∴ | a ＋ b |≤ 3 ＋ 2 2 ＝ 2 ＋ 1 ，即 | a ＋ b |的最大值為 2 ＋ 1. 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 8講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)三 平面向量的綜合應(yīng)用 例 3 已知向量 a ＝ ( c o s α ， s i n α ) ， b ＝ ( c o s x ， s i n x ) ， c ＝( s i n x ＋ 2 s i n α ， c o s x ＋ 2 c o s α ) ，其中 0 α x π . ( 1 ) 若 α ＝π4，求函數(shù) f ( x ) ＝ b | b |＝ c o s α c o s x ＋ s i n α s i n x ＝ c o s ( x － α ) ． ∵ 0 α x π ， ∴ 0 x － α π ， ∴ x － α ＝π3. ∵ a ⊥ c ， ∴ c o s α ( s i n x ＋ 2 s i n α ) ＋ s i n α ( c o s x ＋ 2 c o s α ) ＝ 0 ， ∴ s i n ( x ＋ α ) ＋ 2 s i n 2 α ＝ 0 ， s i n??????2 α ＋π3＋ 2 s i n 2 α ＝ 0 ， ∴52s i n 2 α ＋32c o s 2 α ＝ 0 ， ∴ t a n 2 α ＝－35. 【點(diǎn)評(píng)】 本題是以平面向量為載體考查三角函數(shù)的運(yùn)算 、 性質(zhì) ， 體現(xiàn)了知識(shí)的交匯運(yùn)用 ． 教師備用題 第 8講 │ 教師備用題 備選理由： 1,2 涉及平面向量及三角函數(shù)的簡(jiǎn)單計(jì)算，可用于基礎(chǔ)訓(xùn)練； 3 的綜合性較強(qiáng)，可用于強(qiáng)化訓(xùn)練． 1 ． 長(zhǎng)度都為 2 的向量 OA→， OB→的夾角為 60176。 b ＋ 1 ＝ 2( － c o s2x ＋ s i n x c o s x ) ＋ 1 ＝ 2 s i n x c o s x － ( 2 c o s2x － 1) ＝ s i n 2 x － c o s 2 x ＝ 2 s i n??????2 x －π4 當(dāng) x ∈??????0 ，π2時(shí)， 2 x －π4∈??????－π4，3π4， s i n??????2 x －π4∈????????－22， 1 . ∴ f ( x ) 的值域?yàn)?[ － 1 ， 2 ] ． 第 8講 │ 教師備用題 3 ． 已知向量 m ＝ ( s i n A ， s in B ) ， n ＝ ( c o s B ， c o s A ) ， m b ＋ 1 的值域． 第 8講 │ 教師備用題 【解答】 ( 1 ) 當(dāng) x ＝π3時(shí)， a ＝??????c o sπ3， s i nπ3＝????????12，32. c o s 〈 a ， c 〉＝a c ＝ c o s x s i n x ＋ 2 c o s x s i n α ＋ s i n x c o s x ＋ 2 s i n x c o s α ＝ 2 s i n x c o s x ＋ 2 ( s i n x ＋ c o s x ) ． 令 t ＝ s i n x ＋ c o s x??????π4 x π ，則 2 s i n x c o s x ＝ t2－ 1 ，且－ 1 t 2 . 則 y ＝ f ( x ) ＝ t2＋ 2 t － 1 ＝??????t ＋222－32，－ 1 t 2 . ∴ t ＝－22時(shí)， ym i n＝－32，此時(shí) s i n x ＋ c o s x ＝－22. 由于π4 x π ，故 x ＝1 1 π12. 所以函數(shù) f ( x ) 的最小值為－32，相應(yīng) x 的值為1 1 π12. 第 8講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ( 2 ) ∵ a 與 b 的夾角為π3， ∴ c o sπ3＝a b － b2＝ 0. 將向量坐標(biāo)代入得 2 ( 2 , 1 ) s i n θ ＝ 3 c o s θ ， 從而 t a n θ ＝ 3 . 方法 3 ： 向量 a ， b 可以分別看作兩條直線的方向向量 ， 由于a ∥ b ， 則這兩條直線平行 ， 其斜率相等 ． 以向量 a 為方向向量的直線的斜率為 3 ， 以向量 b 為方向向量的直線的斜率是 t a n θ ， 所以 t a n θ ＝ 3 . 第 8講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ( 2 ) 方法 1 ： a ＝??????2 ， 1 ， b ＝??????3 ， λ ，故 2 a － b ＝ ( 1 , 2 － λ ).??????2 a － b⊥ b ，故 (2 a － b ) b 正確； | a | b | | c o s θ |，可知是 | a | b | 第 8講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ( 1 ) B ( 2 ) B 【解析】 ( 1 ) 兩個(gè)向量平行時(shí)， a ＝ λb ( b ≠ 0 ， λ∈ R) ，此即 a － λb ＝ 0 ，若 a ＋ b ＝ 0 ，則必須 λ ＝－ 1 ，條件不充分；若 a ＋ b ＝ 0 ，則 a ＝－ b ，一定有 a ∥ b ，故條件是必要的．所以 “ a ∥ b ” 是 “ a ＋ b ＝ 0 ” 的必要不充分條件． ( 2 ) 由于 a2＝ a | b | C ． λ ( a b ＝ 0 ， ( a | a | 和 1 8 0 176。 b ＝ 0 ，則 a ∥ b C ．若 a ∥ b ，則 a 在 b 上的投影為 | a | D ．若 a ⊥ b ，則 a b ＝ 0 ，則 a ＝ 0 或 b ＝ 0 ； ③ 若不平行的兩個(gè)非零向量 a ， b ，滿足 | a |＝ | b |，則 ( a ＋ b ) b ＝ 0 ? a ⊥ b ； ④ | a a ＝ | a |2， | a |＝ a s i n α＝ s i nα2177。 c o s 4 5 176。 ＋ 3 0 176。 s i n 7 5 176。 ) ＝ 6 0 176。 － ∠ B C D － ∠ CDB ＝ 1 8 0 176。 ， ∴ AC ＝ CD ＝ 6. 由 余 弦 定 理 知 AD ＝ AC2＋ CD2－ 2 AC ＋ 4 5 176。 ， ∠ B C D ＝ 4 5 176。 2 c o s 2 0 176。 2 c o s 2 0 176。 ＋s i n 1 0 0 176。s i n 7 0 176。 c o s 1 0 176。 1 ＋ c o s 4 0 176。 h a ( h a 表示 a 邊上的高 ) ； ( 2 ) S ＝12ab s i n C ＝12ac s i n B ＝12bc s i n A ＝a b c4 R( 其中 R 表示 △ ABC外接圓的半徑 ) ； ( 3 ) S ＝12r ( a ＋ b ＋ c )( 其中 r 表示 △ A B C 內(nèi)切圓的半徑 ) ． 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 7講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)一 三角函數(shù)的求值 例 1 ( 1 ) 求值：c o s 4 0 176。 β ) ＝t a n α 177。 α ， k ∈ Z 所處于的象限 ) 第 7講 │ 主干知識(shí)整合 3 ．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式： s i n ( α 177。廣東卷 ] 已知函數(shù) f ( x ) ＝ A s i n ( 3 x ＋φ )( A 0 ， x ∈ ( － ∞ ，＋ ∞ )) ， 0