《指數(shù)與指數(shù)函數(shù)》ppt課件(文件)
【正文】 2x＋ 5. 解析： (1) 依題意 x2－ 5 x ＋ 4 ≥ 0 ，解得 x ≥ 4 或 x ≤ 1 ， ∴ f ( x ) 的定義域是 ( － ∞ ， 1] ∪ [ 4 ，＋ ∞ ) ． 令 u ＝ x2－ 5 x ＋ 4 ＝??????x －522－94， ∵ x ∈ ( － ∞ ， 1] ∪ [4 ，＋ ∞ ) ， ∴ u ≥ 0 ，即 x2－ 5 x ＋ 4 ≥ 0 ， 而 f ( x ) ＝ 3 x2－ 5 x ＋ 4 ≥ 30＝ 1 ， ∴ 函數(shù) f ( x ) 的值域是 [1 ，＋ ∞ ) ． ∵ u ＝??????x －522－94， ∴ 當(dāng) x ∈ ( － ∞ ， 1] 時(shí)， u 是減函數(shù) ， 當(dāng) x ∈ [4 ，＋ ∞ ) 時(shí)， u 是增函數(shù)． 而 3 ＞ 1 ， ∴ 由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知， f ( x ) ＝ 3 x2－ 5 x ＋ 4 在 ( － ∞ ， 1] 上是減函數(shù)， 在 [4 ，＋ ∞ ) 上是增函數(shù)． 故 f ( x ) 的增區(qū)間是 [4 ，＋ ∞ ) ，減區(qū)間是 ( － ∞ ， 1] ． (2) 由 g ( x ) ＝－??????14x＋ 4??????12x＋ 5 ＝－??????122 x＋ 4??????12x＋ 5 ， ∴ 函數(shù)的定義域?yàn)?R ，令 t＝??????12x( t＞ 0) ， ∴ g ( t ) ＝－ t2＋ 4 t＋ 5 ＝－ ( t－ 2)2＋ 9 ， ∵ t＞ 0 ， ∴ g ( t ) ＝－ ( t－ 2)2＋ 9 ≤ 9 ， 等號(hào)成立條件是 t＝ 2 ， 即 g ( x ) ≤ 9 ，等號(hào)成立條件是??????12x＝ 2 ，即 x ＝－ 1 ， ∴ g ( x ) 的值域是 ( － ∞ ， 9] ． 由 g ( t ) ＝－ ( t－ 2)2＋ 9( t＞ 0) ，而 t＝??????12x是減函數(shù)， ∴ 要求 g ( x ) 的增區(qū)間實(shí)際上是求 g ( t ) 的減區(qū)間， 求 g ( x ) 的減區(qū)間實(shí)際上是求 g ( t ) 的增區(qū)間． ∵ g ( t ) 在 ( 0,2] 上遞增，在 [2 ，＋ ∞ ) 上遞減， 由 0 ＜ t＝??????12x≤ 2 ，可得 x ≥ － 1 ， 由 t＝??????12x≥ 2 ，可得 x ≤ － 1. ∴ g ( x ) 在 [ － 1 ，＋ ∞ ) 上遞減，在 ( － ∞ ，－ 1] 上遞增， 故 g ( x ) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 ( － ∞ ，－ 1] ， 單調(diào)遞減區(qū)間是 [ － 1 ，＋ ∞ ) ． 點(diǎn)評(píng)： ① 涉及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問題，首先應(yīng)弄清函數(shù)是由哪些基本函數(shù)復(fù)合得到的，求出復(fù)合函數(shù)的定義域，然后分層逐一求解內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和外層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． ② 利用定義證明時(shí)可分層比較，對(duì)于內(nèi)外層函數(shù)，注意 “ 同增異減 ” ． 變式探究 3 求函數(shù) y ＝ a2 x－ 2 ax－ 1( a ＞ 0 且 a ≠ 1) 的單調(diào)區(qū)間和值域． 解析： y ＝ ( ax－ 1)2－ 2( a ＞ 0 ， a ≠ 1) ，設(shè) u ＝ ax. ∵ y ＝ ( u － 1)2－ 2 在 u ∈ [1 ，＋ ∞ ) 是關(guān)于 u 的增函數(shù)，在 u∈ ( － ∞ ， 1] 時(shí)是關(guān)于 u 的減函數(shù)． ∴ 當(dāng) ax≥ 1 時(shí)，原函數(shù)的單調(diào)性與 u ＝ ax的單調(diào)性相同；當(dāng) ax≤ 1 時(shí)，原函數(shù)的單調(diào)性與 u ＝ ax的單調(diào)性相反． 若 a ＞ 1 ， ax≥ 1 ? x ≥ 0 ， ax≤ 1 ? x ≤ 0 ， ∴ 在 [0 ，＋ ∞ ) 上，函數(shù) y ＝ a2 x－ 2 ax－ 1 是增函數(shù)； 在 ( － ∞ ， 0] 上，函數(shù) y ＝ a2 x－ 2 ax－ 1 是減函數(shù)． 若 0 ＜ a ＜ 1 ， ax≥ 1 ? x ≤ 0 ， ax≤ 1 ? x ≥ 0 ， ∴
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