[理學(xué)]6-8二重積分(文件)
【正文】 y o .0,1,.11 222 所圍成立體的體積求由曲面 ???? zyxyz,10,20 ???? r??因?dyVD??? 2練習(xí)： 解 故所求的立體的體積為 x y o drrd ???? ?? 20 10 23 s i ndrrd? ??? ? ??20 10 32s i n? ??? ? ??2022422c os1)4( dr??? 20)2s i n21(2141 ??? .4??22 yxz ?? ,2 22 圍成與 yxz ???12. 因曲面是由 得兩曲面的公共面為 有 則 解 故曲面方程為 由 因曲面是由 . 2222 所圍成立體的體積與求由曲面 yxzyxz ?????22222),( yxyxyxf ????? 22 222 yx ???.Dxoy 面上有投影區(qū)域求立體在122 ?? yxx y o ?dyxVD)222( 22?? ???? ? ??? ? ?20 10 2 )22( r d rrd.??旋轉(zhuǎn)（橢圓）拋物面 ????????22222 yxzyxz10,20 ???? r??一、二重積分在極坐標(biāo)系中的計算 小結(jié) 作業(yè) ： P74 7（ 2， 4）； 11,12 ??Dd xd yyxf ),( .)s i n,c os( θr dr dθrθrfD???二、二重積分的幾何應(yīng)用 求平面圖形的面積； 求幾何體的體積 。 ),(xyf )( yxf曲線用極坐標(biāo)表示更加簡單 （ 如 D為圓形、環(huán)形、 極軸 X 極點 O ?r ),( ?? r極坐標(biāo)x y 變換公式與直角坐標(biāo)極坐標(biāo) ),(),( yxr ?如果選取以直角坐標(biāo)系的原點 O為極點， 以 x軸為極軸， 之間與直角坐標(biāo)坐標(biāo)則平面上任意一點的極 ),(),( yxr ?的變換公式為原點 O x軸 ??? ? ?c osrxθry s in?用以極點 O為中心的 一族同心圓 , AoD 設(shè)過極點 O的射線與積分區(qū)域 D的邊界曲線的交點 不多于兩點， .),( 上連續(xù)在函數(shù) Dyxf把區(qū)域 D分成 n個小區(qū)域， 在極坐標(biāo)系下， 以及從極點 出發(fā)的 一族射線 , 在直角坐標(biāo)系下 ??Ddyxf ?),( ???Ddx dyyxf ),(在極坐標(biāo)系下 ??Ddyxf ?),(如何表示？ 極坐標(biāo)系下的面積微元 ?如何表示σdAoD??rr?rrr ??? ??? ????????? ????????? 22 21)(21 rrr?? ?????? 2)(21 rrr域為其中一個典型小閉區(qū)設(shè) ?? 同時也表示該??(),小閉區(qū)域的面積 的同心圓和它由半徑分別為 rrr ??的射線所確定，和和極角分別為 ??? ??則 ,充分小時當(dāng) r?,)(21 2 ??? r略去高階無窮小量?? ???? rr得 面積微元為 ,?? r d r dd ?所以， ??Dσdyxf ),( 于是得到直角坐標(biāo)系下與極坐標(biāo)系下二重積分的 轉(zhuǎn)換公式 如何計算極坐標(biāo)系下的二重積分？ 化為二次積分或累次積分來計算 ???Dθrθrf )s i n,c os(?rd rd??Dd xd yyxf ),( .)s i n,c os( θr dr dθrθrfD???這樣二重積分在極坐標(biāo)系下的表達(dá)式為 在極坐標(biāo)系下化二重積分為二次積分或累次積分， 同樣要解決下面兩個問題： （ 2）確定積分的上、下限 （ 1）選擇積分次序 化為二次積分或累次積分來計算 (1)若極點 O在區(qū)域 D 之外 ),()(,: 21 θθβθα rrrD ???? 則有 ??Drrrrf θθθ dd)s i n,c o s( (2) 極點 O在
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