有關(guān)二重積分的計(jì)算與應(yīng)用的本科畢業(yè)論文(文件)
【正文】 有一系列與定積分完全相類(lèi)似的性質(zhì)，現(xiàn)列舉如下：性質(zhì)1 若在區(qū)域上可積，為常數(shù)，則在上也可積，且 . 性質(zhì)2 若在上都可積，則在上也可積，且.性質(zhì)3 若在和上都可積，且與無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)，則在上也可積，且 .性質(zhì)4 若在上可積，且，則.性質(zhì)5 若在上可積，則函數(shù)在上也可積，且.性質(zhì)6 若在上可積，且，則 這里是積分區(qū)域的面積.性質(zhì)7(中值定理) 若在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則存在，使得 這里是積分區(qū)域的面積.中值定理的幾何意義是以為底，為曲頂?shù)那斨w體積等于一個(gè)同底的平頂柱體的體積，這個(gè)平頂柱體的高等于在區(qū)域中某點(diǎn)的函數(shù)值. 定理1 設(shè)在矩形區(qū)域上可積，且對(duì)每個(gè)，積分存在，則累次積分也存在，且. 定理2 設(shè)在矩形區(qū)域上可積，且對(duì)每個(gè)，積分存在，則累次積分也存在，且. 定理3 設(shè)有界閉區(qū)域是由兩條交合曲線與，且，以及直線與所圍成，若函數(shù)在上連續(xù)，則有. 定理4 設(shè)有界閉區(qū)域是由兩條交合曲線與，且以及直線與所圍成，若函數(shù)在上連續(xù)，則有. 例1 計(jì)算二重積分，其中區(qū)域是由直線，和雙曲線所圍成. 解 ：先對(duì)積分后對(duì)積分，將積分在軸上，在區(qū)間，對(duì)任意，對(duì)積分，在內(nèi)的積分順序是到，然后在積分區(qū)間上對(duì)積分，即.同理，如果先對(duì)積分后對(duì)積分，也可得到相應(yīng)結(jié)果.若給定的積分為二次積分，但它不能用初等函數(shù)形式表示出來(lái)或者積分的計(jì)算量較大，可考慮交換積分次序，其一般步驟為：（1）先根據(jù)給定的二次積分限，寫(xiě)出積分區(qū)域的不等式表達(dá)式，并依此作出區(qū)域的圖形；(2)根據(jù)區(qū)域的圖形，重新選擇積分限，若積分被積函數(shù)中出現(xiàn)，等函數(shù)時(shí)，也可利用分部積分法來(lái)計(jì)算[6]. 例2 設(shè)是由直線及圍成的區(qū)域，試計(jì)算：的值. 解 ：若用先對(duì)后對(duì)的積分，則 . 由于函數(shù)的原函數(shù)無(wú)法用初等函數(shù)形式表示，因此改用另一種順序的累次積分，即可算得：. ，那么一般區(qū)域上二重積分的計(jì)算問(wèn)題也就得到了解決. 例3 計(jì)算二重積分，其中為由直線及所圍的三角形區(qū)域. 解：當(dāng)把看作區(qū)域時(shí)，相應(yīng)的 ，. 所以 . 當(dāng)被積函數(shù)較為復(fù)雜，這時(shí)可以考慮利用變量變換化被積函數(shù)為簡(jiǎn)單函數(shù)，原積分區(qū)域相應(yīng)的轉(zhuǎn)化為新的積分區(qū)域，進(jìn)而利用公式進(jìn)行計(jì)算[7]. 引理 設(shè)變換，將平面上由按段光滑封閉曲線所圍的閉區(qū)域，一對(duì)一地映成平面上的閉區(qū)域，函數(shù)，在內(nèi)分別具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且它們的函數(shù)行列式，則區(qū)域的面積. 定理5 設(shè)在有界閉區(qū)域上可積，變換，將平面由按段光滑封閉曲線所圍成的閉區(qū)域一對(duì)一地映成平面上的閉區(qū)域，函數(shù)，在內(nèi)分別具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且它們的函數(shù)行列式，則.例4 求，其中是由，所圍區(qū)域.解：為了簡(jiǎn)化被積函數(shù)，令，為此作變換 ，則，在變換的作用下，. 例5 求拋物線，和直線，所圍成區(qū)域的面積，. 解：，作變換，. 它把平面上的區(qū)域?qū)?yīng)到平面上的矩形區(qū)域. 由于， 所以. 當(dāng)積分區(qū)域是圓域或圓域的一部分，或者被積函數(shù)的形式為時(shí)，采用極坐標(biāo)變換，變換的函數(shù)行列式為.應(yīng)用極坐標(biāo)替換將直角坐標(biāo)系中的二重積分化為極坐標(biāo)系中的二重積分，能簡(jiǎn)化二重積分的計(jì)算，二重積分的極坐標(biāo)替換是 .下面介紹二重積分在極坐標(biāo)系下如何化為累次積分計(jì)算. （1） 若原點(diǎn)0且平面上射線常數(shù)與的邊界至多交于兩點(diǎn)，則可表示成，于是有.類(lèi)似地，若平面上的圓常數(shù)與的邊界至多交于兩點(diǎn)，則必可表示為，所以. （2）若原點(diǎn)為的內(nèi)點(diǎn)，的邊界的極坐標(biāo)方程為，則可表示成 ，所以.（3）若原點(diǎn)0在的邊界上，則為，于是有. 例6 計(jì)算，其中為區(qū)域. 解 ：如果用直角坐標(biāo)系來(lái)計(jì)算，這個(gè)積分卻無(wú)法求出，現(xiàn)采用極坐標(biāo)， 此時(shí)表示為，故有 .例7 計(jì)算，其中為圓域：.解：由于原點(diǎn)為的內(nèi)點(diǎn)，故有 .與極坐標(biāo)相類(lèi)似，我們也可以作下面的廣義極坐標(biāo)變換：，并計(jì)算得[8]. 例8 求橢球體的體積. 解：由對(duì)稱(chēng)性，橢球體的體積是第一卦限部分體積的8倍，這一部分是以 為曲頂，為底的曲頂柱體，由于，因此.第3章 特殊二重積分的計(jì)算技巧 （1）設(shè)區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，若函數(shù)關(guān)于是奇函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于是奇函數(shù)，即關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以有，則；若函數(shù)關(guān)于是偶函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于是偶函數(shù)，即關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以有，則 （其中是區(qū)域位于軸右側(cè)的部分）. （2）設(shè)區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，若函數(shù)關(guān)于是奇函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于是奇函數(shù)，即關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以有，則；若函數(shù)關(guān)于是偶函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于是偶函數(shù)，即關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以有，則（其中是區(qū)域位于軸上側(cè)的部分）. （3）設(shè)區(qū)域關(guān)于軸和軸都對(duì)稱(chēng)，同時(shí)也是關(guān)于對(duì)稱(chēng)的，因?yàn)閰^(qū)域關(guān)于軸和軸對(duì)稱(chēng)，也是關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以有，則有（其中是區(qū)域位于第一象限中的部分）.下面僅證明（1），類(lèi)似可以證明（2），由（1）和（2）可
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