數(shù)值分析第五章-矩陣分析基礎(chǔ)(文件)
【正文】 角占優(yōu)陣 ， 或者為不可約且弱對(duì)角占優(yōu)陣，則 de t( ) 0?A若 歷史與注記 阿爾斯通 他于 1954～ 1956年間出任 ACM的主席， 1963—1964年又出任工業(yè)與應(yīng)用 數(shù)學(xué)學(xué)會(huì) SIAM的主席。 1958年，他發(fā)明了“矩陣反演” (matrix inversion)，可用以當(dāng)圓錐曲線 (也就是二次曲線 )在 n維空間中其坐標(biāo)軸發(fā)生旋轉(zhuǎn)時(shí)找出其基本不變式。 1965年， Golub在 求解最小二乘問題中使用 Householder方法，可參見文獻(xiàn) [3]。此外， Householder 還是系統(tǒng)使用“范數(shù)”作為數(shù)值方法分析理論工具的先驅(qū)者。 1980 年獲得計(jì)算機(jī)先驅(qū)獎(jiǎng)。 1937 年取得了芝加哥大學(xué)博士學(xué)位之后他獲得洛克菲勒基金會(huì)的 資助，在芝加哥大學(xué)從事研究， 1944年被提升為數(shù)學(xué)和生物 物理學(xué)的副教授。 對(duì)角占優(yōu)陣 定義 11 設(shè)矩陣 nnR ??A ， 若存在一個(gè)排列陣 P ， 使得 ??? ????1 1 1 222AAP A P0AT否則稱矩陣 A 是 不可約的 。 定理 對(duì)任意的非零向量 nR?v ， 可以適當(dāng)選擇合適的 向量 nR?u ， 滿足 2 1?u ， 用其構(gòu)造的 H 矩陣可將 v變換為單位向量 ? ?1 , 0 , , 0 T nR??e 的常數(shù)倍，使得 c?H vec其中， 是實(shí)數(shù)，并且 || Tc ? vv定義 9 將 n 階單位陣 nI改變第 ,ij 行和第 ,ij 列的四個(gè) 元素得到矩陣 11c os si n1( , , )1si n c os11 iijjij???????????????????????????J Givens旋轉(zhuǎn)矩陣 稱為 Givens旋轉(zhuǎn)矩陣 ，或稱 Givens變換， ? 為旋轉(zhuǎn)角 。 )?Ε uv 中 ， 定理 Householder矩陣 H 具有以下性質(zhì)： (1) 矩陣 H 是對(duì)稱陣，即 ； T ?Η Η(2) 矩陣 H 是正交矩陣，即 。 初等下三角陣在矩陣的滿秩分解、三角分解以及解線性代數(shù)方程組的直接解法中起著重要的作用。 ) T????EIu v u vI的矩陣叫做 實(shí)初等矩陣 ，其中 是 n 階單位矩陣 ， 向量 i?ve1??， 為 初等下三角陣。 對(duì)矩陣 的任意一個(gè)算子范數(shù) 11( 1 ) ( ) 1c o n d ??? ? ? ? ?A A A A A IA 有 (2) cond ( kA )= cond ( A ) , k 為非零常數(shù) 。 定義 5： 設(shè) || （ Ⅲ ）與 相容的矩陣范數(shù)是 ?x????njiji aA1m a x上述三種范數(shù)分別稱為矩陣的 1范數(shù)、 2范數(shù)和 ∞ 范數(shù)。 矩陣范數(shù) 定義 3 設(shè)對(duì)任意矩陣 A∈R n m，按一定的規(guī)則有一實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，記為 ‖A‖ ，若 ‖A‖ 滿足 )(00。 定理 1： 定義在 Rn上的向量范數(shù)
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