【正文】 4 第二章 利用羅爾中值定理證明不等式 羅爾中值定理的意義及分析 羅爾中值定理的幾何意義 :在滿足定理條件下 ,在曲線 ()y f x? 上必有一點 ,使得過該點 ( , ( ))Pf??的切線平行于 x 軸 . 在一般情況下 ,利用羅爾中值定理很容易證明關于方程的 根的問題 ,但是僅用羅爾中值定理卻很難證明不等式 ,所以在利用羅爾中值定理證明時要綜合利用其他的微分中值定理 . 羅爾中值定理的應用 例 1 設函數(shù) ()fx在 ? ?ba, 上連續(xù)，在 ? ?1,0 內可導，且 ? ? ? ? 010 ?? ff .證明： ? ?1,0內必存在一點 ? ，使得??? ????? 1 )(2)( ff. 分析：由結論令 )(2)()1()( xfxfxxF ???????? → ? ???? dxxFF )()( ?? ? ?? ? )()()1()(2)(1 xfxfxdxxfxfx ????????? → ? ?? ? )()1()()(1)()( xfxdxxfxfxdxxFxF ???????? ? ?. 證明：令 )()1()( xfxxF ?? ，由于 )(xF 在 ? ?1,0 上連續(xù)，在 ? ?1,0 內可導，且 )()()1()( xfxfxxF ????? ，又 0)1()0( ?? FF ,則由羅爾定理知：存在 ? ?1,0?c ， 使得 0)()()1()( ?????? cfcfccF ，又 0)1()1( ???? fF ，從而 )(xF? 在 ? ?1,c 上 .再由羅爾定理知：必存在一點 ? ? ? ?1,01, ?? c? ，使得 0)(2)()1()( ????????? ???? ffF 即??? ????? 1 )(2)( ff 5 第三章 利用拉格朗日中值定理證明不等式 拉格朗日中值定理的意義及分析 拉格朗日中值定理的幾何意義 :在滿足定理條件下 ,在曲線 ()y f x? 上必有一點( , ( ))Pf??,使得過該點的切線平行于曲線兩端點的連線 ( , ( ))a f a ,( , ( ))b f b 兩點的弦 .我們在證明中引入的輔助函數(shù) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )f b f aF x f x f a x aba?? ? ? ??,正是曲線()y f x? 與弦線之差 . 拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣 ,當 ( ) ( )f a f b? 時 ,本 定理即為羅爾中值定理的結論 ,這表明羅爾中值定理是朗格朗日定理的一個特殊情形 ()y f x? . 拉格朗日中值定理的其它表示形式 : (1) ( ) ( ) ( ) ( )f b f a f b a??? ? ?,ab???。 (2) ( ) ( ) 0f a f b????.試證明 :在開區(qū)間 ? ?,ab 內至少存在一點 c , 使得 24( ) ( ) ( )()f c f b f aba?? ???. 證明 令24 ( ) ( )()k f b f aba???.在此我們利用用反證法來證明本題 , 我們不妨假設 ()f x k?? ? ,a x b??.對于構造的輔助函數(shù) ? ?0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )F x f x f x f x x x?? ? ? ?及 20( ) ( )G x x x?? (其中 0x 是 ? ?,ab 中任意固定的一點 ),兩次利用柯西中值定理 ,可得 : 20 0 0 01( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2f x f x f x x x x x f ?? ??? ? ? ? ? 其中 ? 介于 0x 與 x 之間 (即 0xx??? 或 0xx??? ),x 為 ? ?,ab 上任意點 ,特別地 ,在上式中取 0xa? , 2abx ?? ,并利用已知條件 ( ) 0fa? ? ,則有 : 21()( ) ( ) ( )28a b b af f a f c?? ????,其中 1c 滿足1 2abac ???, 10 于是 2()( ) ( )28a b b af f a k????. 同理再取 0xb? ,2abx ??,并利用已知條件 ( ) 0fb? ? ,則得 : 22()( ) ( ) ( )28a b b af f b f c?? ????,其中 2c 滿足22abcb? ??. 于是 : 2()( ) ( )28a b b af b f k????. 因此 , 2()( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 4a b a b b af b f a f b f f f a k f b f a? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?. 這是不可能的 .所以在區(qū)間 ? ?,ab 內至少存在一點 c , 使得 24( ) ( ) ( )()f c f b f aba?? ???. 11 第五章 利用泰勒中值定理證明不等式 泰勒中值定理證明不等式的方法歸納 泰勒公式的余項大體分兩種 :佩亞諾型余項 ,拉格朗日型余項 .與帶拉格朗日型余項的泰 勒公式相比 ,帶佩亞諾型余項的泰勒公式對函數(shù) ()fx的假設條件較少 ,只需函數(shù) ()fx在 0x 處 n 階可導 ,不需要 1n? 階可導 ,也不需要在 0x 的鄰域內存在 n 階連續(xù)導數(shù) ,因此應用 范圍較廣 .但是在證明不等式時 ,精確度卻不如帶拉格朗日型余項的泰勒公式好 . 利用此原理可以證明一般的不等式 ,積分不等式 ,估值不等式等多種不等式 ,這種方法的用法非常廣泛 . 證明方法 : (1) 根據(jù)已知條件 ,圍繞證明目標 ,尋取適當?shù)狞c將函數(shù)在該點展成泰勒展式 . (2) 根據(jù)已知條件 ,向著有利于證明不等式的方向對上面的展式作適當?shù)奶幚?,直到可以結合已知條件證出不等式為止 . 泰勒中值定理證明不等式 例 6 當 0 2x ??? 時 ,求證 : 222 1 200( 1 ) s in ( 1 )( 2 1 ) ! ( 2 1 ) !k k k knnkkx x xk x k???????????. 分析 :由于朗格朗日中值定理很容易證明 sin01xx??, 而利用泰勒中值定理時 ,當 1n? 時 ,不等式為 : 2 2 4s in113 ! 3 ! 5 !x x x xx? ? ? ? ?. 顯然第二個比前一個的不等式的精確度高得多 ,隨著 n 的增大 ,不等式的精確度會大幅度地提高 ,所以我們在做題過程 中 ,按題目的要求來選擇適當?shù)姆椒▉碜C明不同的不等式 . 證明 令 ( ) sinf x x? ,那么函數(shù) ()fx在 0 0x? 點展開前 2n 項的泰勒公式 , 余項取拉格朗形式 ,那么有 : 212430 ( 1 )s in ( )( 2 1 ) !kknnk xx R xk??? ????? 12 434 3 4 3 4 3433si n( )si n c os2() ( 4 3 ) ! ( 4 3 ) ! ( 4 3 ) !n x n n nn xR x x x xn n n??? ??? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?. 因為 02x ??? ? ?,所以 cos 0?? ,從而 21( ) 0nRx? ? , 所以有 2120( 1)sin (2 1) !kknkxx k ???? ?? . 即 220( 1)sin (2 1)!kknkxx k??? ?? . 同理 ,因為 412s i n( )2( ) 0( 4 1 ) ! nnR x xn???????,所以左端的不等號也成立 . 另外 ,在遇到高階導數(shù)的不等式 ,一般都首先考慮泰勒中值定理 .像 之前的例 們也可以用泰勒中值定理來證明 ,下面具體來說明 : 例 5 的另一種證法 : 由題設條件 ,應用泰勒展開式有 : 211( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2a b b a b af f a f a f ?? ? ?? ??? ? ?, 221( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2a b a b a bf f b f b f ?? ? ?? ??? ? ?, 其中 1? 介于 a 與 2ab? 之間 ,2? 介于 2ab? 與 b 之間 . 上述兩式相減 ,且有 ( ) ( ) 0f a f b????,得 : 2 211( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]22abf b f a f f??? ?? ??? ? ? ?, ? ?2 21()( ) ( ) ( ) ( )8abf b f a f f??? ?? ??? ? ?. 令 21m a x { ( ) , ( ) } ( )f f f? ? ??? ?? ???, ( , )ab?? ,則有 : 2()( ) ( ) ( )4abf a f b f ?? ???? , ( , )ab?? . 即 24( ) ( ) ( )()f f b f aba??? ???. 例 7 設函數(shù) ()fx在 ? ?,ab