應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分(文件)
【正文】 ?? ?? 0 4 11 dxxI??????????42)(4 4141 )](Re)([ R e4/94/34/94/34/34/???????????????? iiiiiieeieeiesfesfiI11)(4 ?? zzf4/324/1 ?? ii ezez ??類型三： 條件： ① F(x)是偶函數(shù)， G(x)是奇函數(shù)，積分 區(qū)間是 [0， ∞]； ② F(x)， G(x)在實(shí)軸上無奇點(diǎn)，在上半 平面除有限個(gè)奇點(diǎn)外是解析的； ③ 當(dāng) z在上半平面或?qū)嵼S上 →∞ 時(shí)， F(x) 和 G(x)一致地 → 0。 如果 m為負(fù)數(shù)，則約當(dāng)引理為 C39。 ai，其中 ai在上半平面，則 })({c os)(0 在上半平面留數(shù)和i m zezFim x dxxF ??? ?})({s i n)(0 在上半平面留數(shù)和i m zezGm x dxxG ??? ??? ?0 22c os dxax mx22)( azeezF im zim z??? ? aieaiz eaz eaiz mai m zaizi m zaiz 2l i ml i m 22??????????????mamaeaaieidxax mx ???????? 22c os0 22??特殊情形：實(shí)軸上有單極點(diǎn)的情形 條件： ① f(x)在實(shí)軸上有有限個(gè)單極點(diǎn) ； ② 滿足類型二的 其它 條件 ； 結(jié)果： 的求和范圍是 上半平面 的求和范圍是 在實(shí)軸上 ???? dxxf )(??? ????? 21 )(Re)(Re2)( zsfizsfidxxf ????21)(Re)(Rezsfzsf例 8： 計(jì)算 (m0,a0)的值。 )1(22/0 /22/0 s i n mRmRmR emRdeRde ??? ??? ?? ??? ? ??? ?0)(l i m ?? ???RCi m zR dzezF以上兩式均已化為類型二，其中條件 3已放寬，由 約當(dāng)引理 保證，所以 例：計(jì)算 (a0)的值。 約當(dāng)引理 如果 m為正數(shù)， CR是以原點(diǎn)為圓心而位于上半平面的半圓周，又設(shè)當(dāng) z在上半平面及實(shí)軸上 →∞ 時(shí)，F(xiàn)(z)一致地 → 0，則 證明： ?? ?? RR C myi m xC i m z dzezFdzezF )()(?? ?????? 2/0 s i n0 s i n l i m2 l i m ? ?? ? ?? RdeRde mRRmRR????? s i n/20 2/0 ????當(dāng) z在上半平面及實(shí)軸上 →∞ 時(shí)， F(z)一致地 → 0，所以 max|F(z)|→0 ，從而只需證明 即 是有界的。 i， +i在上半平面，則 ???? ? 21 xdx)( )( xx ??))((111)(2 izizzzf ?????iizzfizisfiziz211l i m )]()[(l i m)(Re????????? ????? ? ??? iixdx 2121 2
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