應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分(完整版)
【正文】 ??zzsf? ?? ? ??20 c o s2 dI?? ?? ??????1|| 21|| 2 14122121zzdzzziizdzzzI22 121121 ???? ??????? iiI被積函數(shù) 在 |z|=1內(nèi)只有單極 點(diǎn) ，故 類型二 ： (反常積分 ) 條件： ①區(qū)間 (∞ ， ∞ )； ② f(z)在實(shí)軸上無(wú)奇點(diǎn)，在上半平面上 141)(2 ??? zzzf32 ???z32 141)]32([l i m4 )32(Re22232????????????????????????? zzzsfiiIz????? dxxfI )( 除有限個(gè)奇點(diǎn)外是解析的； ③當(dāng) z在上半平面和實(shí)軸上 →∞ 時(shí)， zf(z)一致地 → 0 若 ， 和 為互質(zhì)多 項(xiàng)式，上述條件意味著 無(wú)實(shí)的零 點(diǎn)， 的次數(shù)至少比 高兩階。 應(yīng)用留數(shù)定理 計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分 在自然科學(xué)中常常需要計(jì)算一些實(shí)積分，特別是計(jì)算一些在無(wú)窮區(qū)間上的積分。 利用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分 一般可采用如下步驟： (1)添加輔助曲線，使積分路徑構(gòu)成閉合曲線； (2)選擇一個(gè)在曲線內(nèi)除了一些孤立奇點(diǎn)外都解析的被積函數(shù) F(z)，使得滿足 F(x)=f(x)，通常選用 F(z)=f(z)，只有少數(shù)例外； ? dxxf )((3)計(jì)算被積函數(shù) F(z)在閉合曲線內(nèi)的每個(gè)孤立奇點(diǎn)的留數(shù)，然后求出這些留數(shù)之和； (4)計(jì)算輔助曲線上函數(shù) F(z)的積分值，通常選擇輔助線使得積分簡(jiǎn)單易求，甚至直接為零。 解 ： ∵ 為偶函數(shù)，且分母多項(xiàng) 式的次數(shù)高于分子多項(xiàng)式次數(shù)兩次， 它在上半平面有 和 兩個(gè)單極點(diǎn)，所以 ?? ?? 0 4 11 dxxI??????????42)(4 4141 )](Re)([ R e4/94/34/94/34/34/???????????????? iiiiiieeieeiesfesfiI11)(4 ?? zzf4/324/1 ?? ii ezez ??類型三： 條件： ① F(x)是偶函數(shù)， G(x)是奇函數(shù)，積分 區(qū)間是 [0， ∞]； ② F(x)， G(x)在實(shí)軸上無(wú)奇點(diǎn)，在上半 平面除有限個(gè)奇點(diǎn)外是解析的； ③ 當(dāng) z在上半平面或?qū)嵼S上 →∞ 時(shí)， F(x) 和 G(x)一致地 → 0。 ai，其中 ai在上半平面，則 })({c os)(0 在上半平面留數(shù)和i m zezFim x dxxF ??? ?})({s i n)(0 在上半平面留數(shù)和i m zezGm x dxxG ??? ??? ?0 22c os dxax mx22)( azeezF im zim z??? ? aieaiz eaz eaiz mai m za
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