應用留數(shù)定理計算實變函數(shù)定積分-wenkub
2023-05-26 03:45:59 本頁面
【正文】 ziI ??)1)(()( zzdzzf?? ??? ，以 z=ε為一階極點 例 4： 求 的值 解：令 z=eiθ，則 21111)(Re???? ?????zzsf? ?? ? ??20 c o s2 dI?? ?? ??????1|| 21|| 2 14122121zzdzzziizdzzzI22 121121 ???? ??????? iiI被積函數(shù) 在 |z|=1內(nèi)只有單極 點 ，故 類型二 ： (反常積分 ) 條件： ①區(qū)間 (∞ ， ∞ )； ② f(z)在實軸上無奇點，在上半平面上 141)(2 ??? zzzf32 ???z32 141)]32([l i m4 )32(Re22232????????????????????????? zzzsfiiIz????? dxxfI )( 除有限個奇點外是解析的； ③當 z在上半平面和實軸上 →∞ 時， zf(z)一致地 → 0 若 ， 和 為互質(zhì)多 項式，上述條件意味著 無實的零 點， 的次數(shù)至少比 高兩階。 ?? ?? 0 20 2 )s i n()c os ( dxxdxx ，?? ?0 )c os (2 dxbxe ax??0 /)( s in x dxx可是通過本節(jié)的學習我們會發(fā)現(xiàn)，這些實積分可以轉(zhuǎn)化為復變函數(shù)的環(huán)路積分 (注意到當積分路徑沿實軸時， z=x即對應于實積分 )，再利用留數(shù)定理，則積分顯得方便易求。 應用留數(shù)定理 計算實變函數(shù)定積分 在自然科學中常常需要計算一些實積分，特別是計算一些在無窮區(qū)間上的積分。例如：光學問題中需要計算菲涅爾積分 ；熱傳導問題中需要計算 ；阻尼振動問題中需要計算積分 等。 利用留數(shù)定理計算實積分 一般可采用如下步驟： (1)添加輔助曲線，使積分路徑構(gòu)成閉合曲線； (2)選擇一個在曲線內(nèi)除了一些孤立奇點外都解析的被積函數(shù) F(z)，使得滿足 F(x)=f(x)，通常選用 F(z)=f(z)，只有少數(shù)例外； ? dxxf )((3)計算被積函數(shù) F(z)在閉合曲線內(nèi)的每個孤立奇點的留數(shù)，然后求出這些留數(shù)之和； (4)計算輔助曲線上函數(shù) F(z)的積分值，通常選擇輔助線使得積分簡單易求，甚至直接為零。 所求積分通常理解為下列極限： )()()(xxxf??? )( )( xx ??)(x??? ?????????? 2121)(l i m)( RRRRdxxfdxxfI)( )( xx ??若上述極限存在，這一極限便稱為 的值。 解 ： ∵ 為偶函數(shù)，且分母多項 式的次數(shù)高于分子多項式次數(shù)兩次， 它在上半平面有 和 兩個單極點，所以
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