應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分(存儲(chǔ)版)
【正文】 ???????nnxdxxdxInnn?例 6： 計(jì)算 解 ： ∵ f(x)是偶函數(shù) 令 z4+a4=0，則 z4=a4，即 也就是說(shuō) 有 4個(gè)單極點(diǎn)，其 中， 和 在上半平面 ?? ?? 0 44 ax dxI441)(azzf ??3)210( )2/4/( ，?? ? kaez ki ???? ???? ????? 440 44 21 ax dxax dxI4/324/1 ?? ii aezaez ??)](Re)([Re21 2144 zsfzsfiax dxI ????? ? ????? ?4/333444/4/4141l i m 1l i m)(Re11???izzizzieazazaezaesf??????????????? ?4/933444/34/34141l i m 1l i m)(Re22???izzizzieazazaezaesf??????????????34/934/3321224141 )](Re)([ R eaeaeaizsfzsfiIii ????? ??????? ???????例 7： 計(jì)算 ,(a0,b0) 的值。 )1(22/0 /22/0 s i n mRmRmR emRdeRde ??? ??? ?? ??? ? ??? ?0)(l i m ?? ???RCi m zR dzezF以上兩式均已化為類(lèi)型二，其中條件 3已放寬，由 約當(dāng)引理 保證，所以 例：計(jì)算 (a0)的值。 如果 m為負(fù)數(shù)，則約當(dāng)引理為 C39。 所求積分通常理解為下列極限： )()()(xxxf??? )( )( xx ??)(x??? ?????????? 2121)(l i m)( RRRRdxxfdxxfI)( )( xx ??若上述極限存在，這一極限便稱為 的值。例如：光學(xué)問(wèn)題中需要計(jì)算菲涅爾積分 ；熱傳導(dǎo)問(wèn)題中需要計(jì)算 ；阻尼振動(dòng)問(wèn)題中需要計(jì)算積分 等。 ?? ?? 0 20 2 )s i n()c os ( dxxdxx ，?? ?0 )c os (2 dxbxe ax??0 /)( s in x dxx可是通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，這些實(shí)積分可以轉(zhuǎn)化為復(fù)變函數(shù)的環(huán)路積分 (注意到當(dāng)積分路徑沿實(shí)軸時(shí)， z=x即對(duì)應(yīng)于實(shí)積分 )，再利用留數(shù)定理，則積分顯得方便易求。 解 ： ∵ 的分母多項(xiàng)式 的次數(shù)高于分子多項(xiàng)式次數(shù)兩次，它 在上半平面有 z1=ai和 z2=bi兩個(gè)單極點(diǎn) 所以 ? ??? ??? dxbxax xI ))(( 22222)/(
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