應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分(更新版)
【正文】 izi m zaiz 2l i ml i m 22??????????????mamaeaaieidxax mx ???????? 22c os0 22??特殊情形：實(shí)軸上有單極點(diǎn)的情形 條件： ① f(x)在實(shí)軸上有有限個(gè)單極點(diǎn) ； ② 滿足類型二的 其它 條件 ； 結(jié)果： 的求和范圍是 上半平面 的求和范圍是 在實(shí)軸上 ???? dxxf )(??? ????? 21 )(Re)(Re2)( zsfizsfidxxf ????21)(Re)(Rezsfzsf例 8： 計(jì)算 (m0,a0)的值。 約當(dāng)引理 如果 m為正數(shù)， CR是以原點(diǎn)為圓心而位于上半平面的半圓周，又設(shè)當(dāng) z在上半平面及實(shí)軸上 →∞ 時(shí)，F(xiàn)(z)一致地 → 0，則 證明： ?? ?? RR C myi m xC i m z dzezFdzezF )()(?? ?????? 2/0 s i n0 s i n l i m2 l i m ? ?? ? ?? RdeRde mRRmRR????? s i n/20 2/0 ????當(dāng) z在上半平面及實(shí)軸上 →∞ 時(shí)， F(z)一致地 → 0，所以 max|F(z)|→0 ，從而只需證明 即 是有界的。 基本思想： (1)補(bǔ)上一段 l2，使得 l2上 的積分容易計(jì)算； ?ba dxxf )((2)自變數(shù)變換，把 l1變成 另一復(fù)平面上的回路。167。 設(shè)法將實(shí)積分 與復(fù)變函數(shù)回路積分相聯(lián)系。 ?? ?? 00 s i n)( c os)( m x dxxGm x dxxF??????????????dxexGim x dxxGdxexFm x dxxFi m xi m x)(21s i n)()(21c os)(00????????????????0s i n0c o ss i n|)(|m a xRe)( R eRdezFideeFmRii mRmRi0)(l i m ????RCi m zR dzezF要計(jì)算右邊的積分，需要用到約當(dāng)引理。 解： 且 ? ? ?0 22 )(s in dxaxx mx)(1)(1222222 axaxxaaxx ????2s in0??? ? dxxmx??? ??? ???? 0 222020 22 s i n1s i n1)( s i n dxax mxadxx mxadxaxx mx?????? ??? ? ?0 222 s i n21 dxax mxa ?2)(l i m)]([ R e22mai mziazeazzeiaziasf?????????????????}{s i n 220 22數(shù)和在上半平面所有奇點(diǎn)留az zedxax mxxi m z????? ?而 )1(2221 22 mama eaeaI ?? ???????? ??? ???作業(yè)： P6364： 1－ 1， 6 2－ 6 3－ 5
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