chapter1隨機事件及其概率(文件)
【正文】 n兩兩互斥 ,則 ? P(A1+A2+…+A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n) ? (3)P(AB)=P(A)P(AB), ? 若 B是 A的子事件 ,則 P(AB)=P(A)P(B)，且 P(A)≥P(B). ? P(Ω –A) = P( ā ) = 1P(A). ? (4)P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB), ? P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB) P(AC) P(BC)+P(ABC) ? 可推廣到有 限個事件的情形 (多退少補原則 )。 4. A, B都出現(xiàn)的概率與 A, B 都不出現(xiàn)的概率相等，P(A)=p，求 P(B). 解 (3) P( )=P( )=1P(A+B+C)=7/12 CBA CBA ??(4)P(AB)=P( )=P( ) =1P(A+B)=1P(A)P(B)+P(AB), BA BA?所以 ,P(B)=1P(A)=1p 返回 條件概率與獨立性及其應用 例如 考慮擲一骰子的實驗。故在 已知 B發(fā)生的 條件下， A的條件概率，記為 P（ A│B），等于 2/3,也等于P(AB)/P(B)。 (2) 由 P(B|A)的實際意義 ,按古典概型計算 . (1) 條件概率 P(A | Ω) = P(A) P(A | B) 與 P(AB) 不同，前者樣本空間為 B,后者樣本空間為 Ω. 返回 例如 在 10個產(chǎn)品中有 7個正品 ,3個次品 ,按不放回抽樣 ,每次一個 ,抽取兩次 ,已知第一次取到次品，第二次又取到次品的概率。 推論 1 ,若 P(A)0, 則 A與 B獨立等價于 P(B|A)=P(B). 若 P(B)0, 則 A與 B獨立等價于 P(A|B)=P(A). 證明： A, B獨立 =P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B) =P(B|A)=P(B) 注意 從直觀上講 ,A與 B獨立就是其中任何一個事件出現(xiàn)的概率不受另一個事件出現(xiàn)與否的影響 . 返回 證明 不妨設 ,則 )B(P)A(P))B(P1)(A(P)B(P)A(P)A(P)AB(P)A(P)BA(P)BA(P?????????其他類似可證 . 推論 2 在 A 與 B, 與 B, A 與 ， 與 這四對事件中 ,若有一對獨立 , 則另外三對也相互獨立。()1(1niAPAjiAAiiniji??????????則 對于任何一個事件 B， 有 P(B)=P(A1)P(B|A1)+…+P(A n)P(B|An) 證明 )]()()[()]([)()(2121nnBABABAPAAABPBPBP????????????)()()( 21 nBAPBAPBAP ???? ? =P(A1)P(B|A1)+…+ P(A n) P(B|An) 稱公式中 A1,A2,…,A n為完備事件組 返回 例 市場上某種商品由三個廠同時供貨 ,其供應量為 :甲廠是乙廠的 2倍 ,乙、丙兩個廠相等 ,且各廠產(chǎn)品的次品率分別為 2%,2%,4%,(1)求市場上該種商品的次品率 . (1) 從市場上任取一個產(chǎn)品， Ai表示取到第 i 個工廠產(chǎn)品 ,i=1,2,3, B表示取到次品 , 由題意得 :P(A1)=,P(A2)=P(A3)=, P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)= 由全概率公式得 : )|()()|()()|()()|()()(33221131ABPAPABPAPABPAPABPAPBP iii???? ?? = 即市場上該種商品的次品率為 %. 解 返回 例 市場上某種商品由三個廠家同時供貨 ,其供應量為 :甲廠家是乙廠家的 2倍 ,乙 .丙兩個廠家相等 ,且各廠產(chǎn)品的次品率為 2%,2%,4%,(1)求市場上該種商品的次品率 . (2)若從市場上的商品中隨機抽取一件 ,發(fā)現(xiàn)是次品 ,求它是甲廠生產(chǎn)的概率 . 解 (2) 分析 所求為條件概率 P(A1|B)=P(A1B)/P(B). ???? 311111)|()()|()()()()|(iii ABPAPABPAPBPBAPBAP= 即抽取到的次品是甲廠生產(chǎn)的概率為 . 注意 A1 是完備事件組里的事件 返回 ),...,2,1()|()()|()()|(1njABPAPABPAPBAP niiijjj ???? (2) 貝葉斯 (Bayes)公式 設 Ω是隨機試驗 E的樣本空間 ,事件組 A1,A2,…,A n滿足， ),2,1(0)(,)2()。2,1,0(31)(,)。 (2) 每次基本試驗中每個結(jié)果出現(xiàn)的概率不變 。 (2) 至少有一顆是 6點的概率 . 解 這是一個 4重貝努里試驗 , 擲每一顆骰子就是一個基本試驗 . 每次基本試驗中 6點出現(xiàn)的概率是 1/6,所以 (1) 恰有一顆是 6點的概率為 (2) 至少有一顆是 6點的概率為 311414114 )65()61()611()61( CC ?? ?4400404004 )65(1)65()61(1)611()61(1 ?????? ? CC。 (4) 在相同條件下 ,試驗可以重復進行 . 則稱此試驗為獨立重復試驗或貝努里 (Bern
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