【正文】 Winfree 回復(fù)道：我可以虛構(gòu)出其他學(xué)生和合作者的詳細(xì)情況，但是，說實(shí)話，一個(gè)也沒有。 Winfree 覺得我得把手弄臟：因?yàn)闀簳r(shí)用不到數(shù)學(xué)和電腦。那樣， 對(duì)于心臟波動(dòng) 的作用和 果蠅 對(duì)基因起的作用就 同樣 了：對(duì)復(fù)雜 現(xiàn)象 的一個(gè)簡化分析。 這些化學(xué)物質(zhì)模擬出 起搏器 單元。 一開始看起來比較遲鈍的樣子。一旦波被傳開，反應(yīng)就停止，然后再次變紅，就像草燃燒后最終要變黑一樣 。當(dāng)化學(xué)波傳播開來的時(shí)候，液體表面并不會(huì)上下 振動(dòng) ，它仍然非常平靜。 現(xiàn)在假設(shè)你在 陪替氏培養(yǎng)皿 里的兩個(gè)不同的點(diǎn)引爆兩個(gè)化學(xué)波 ，藍(lán)色的波圈就會(huì)擴(kuò)散并互相蔓延。 化學(xué)波的中央在下一次激勵(lì)前需要時(shí)間恢復(fù)。 正常情況下神經(jīng)元屬于靜止?fàn)顟B(tài) 。類似的化學(xué)波產(chǎn)生電壓信號(hào)，電波隨著神經(jīng)中樞傳播開來。 Zhabotinsky 試劑具有許多優(yōu)點(diǎn)，特別對(duì)一個(gè)對(duì)試驗(yàn)剛?cè)腴T的人來說。相比之下， 心臟波的可視化至今為止還是一個(gè)很難的問題，即使實(shí)驗(yàn)室里給了很大的投資，因?yàn)樾枰妷焊袘?yīng)染色和多電極組 。旋轉(zhuǎn)的螺旋波是 心動(dòng)過速 的主犯，在最壞的情況下， 心臟死亡后會(huì)伴隨著 心室纖維顫動(dòng) 。 在 1950 年代早期， Boris Belousov 試圖開發(fā)一個(gè)試管模擬克雷布斯循環(huán)――一個(gè)在活細(xì)胞內(nèi)的新陳代謝過程。據(jù)認(rèn)為，所有化學(xué)反應(yīng)由于熱力學(xué)定律的原因一定會(huì)達(dá)到平衡。他在俄國醫(yī)學(xué)會(huì)上發(fā)表過一個(gè)簡短的摘要，但是直到一年后才有人注意。 在 1970 年代早期， 和 Zhabotinsky 在 BZ 反應(yīng)的很薄的未激勵(lì)層發(fā)現(xiàn)了傳播的激 勵(lì)波。 Winfree 曾經(jīng)在他自己的實(shí)驗(yàn)室里觀察到過螺旋波呈現(xiàn)蘑菇狀，一個(gè)由具有生理節(jié)奏的活生物體組成的非常復(fù)雜的系統(tǒng)。在那個(gè)時(shí)期郵件從蘇聯(lián)寄出的郵件都出奇的慢，特別是科學(xué)家之間的郵件（兩邊的國家安全局都得忙著檢查信件）?，F(xiàn)在大家 都知道螺旋波是所有化學(xué)生物物理激勵(lì)媒介的普遍的性質(zhì)。 最令人驚奇的是螺旋波看起來像是活著的。 在某種程度上 ，旋轉(zhuǎn)是偶 然性的。 因此 陪替氏培養(yǎng)皿 中的每一點(diǎn)都經(jīng)歷相似的過程－－激勵(lì)，難以控制的，靜態(tài)再激勵(lì)的過程。假設(shè)我們有一個(gè)動(dòng)作敏捷的助手能夠幫助我們把任何一個(gè)倒下的多米諾快速 恢復(fù)原來的狀態(tài)。這個(gè)波將會(huì) 毫無止境的循環(huán)著，知道助手停止恢復(fù)骨牌為止。 因此波可以在一維空間持續(xù)傳播一幕了然了。 更像一個(gè)煙圈而非龍卷風(fēng)的樣子。他 沒有像常規(guī)那樣使用放滿 BZ 反應(yīng)液的燒杯而是 準(zhǔn)備了一 大 堆 可 滲水的 充滿了同樣還學(xué)物質(zhì)的 硝化纖維 過濾紙。 然而， Winfree 還想知道是否還有其他類型的滾動(dòng)環(huán)存在。如果環(huán)被扭曲， 它就會(huì)自動(dòng) 被其他奇異的細(xì)絲所纏成線 狀圖案 ，這就意味著原始的環(huán)就不再存在了。 這個(gè)暗示讓人很著急：滾動(dòng)環(huán)的幾何結(jié)構(gòu)是 受自然 定律 支配的 。 Winfree 抽象的拓?fù)溆^點(diǎn)意思是說扭曲的滾動(dòng)環(huán)一定被其它細(xì)絲纏繞著，但是他和我都無法完整的把它畫出來 。電腦能畫出任何我們告訴它要畫的東西。無限的這樣做下去直到螺旋繞著圓轉(zhuǎn)了一圈完全扭曲又回到了起始位置，有點(diǎn)要注意的是， 每個(gè)螺旋肋骨要多長呢？也就是說，要一個(gè)有多少圈的肋骨呢？這里化學(xué)家給出了答案：螺旋波一直前進(jìn)直到它與另一個(gè)相撞。我加快運(yùn)轉(zhuǎn) Winfree 買的軟件－－ Bill Budge 3D 圖形系統(tǒng)，我們屏住呼吸。我們把這個(gè)圖片打印出來，然后用彩色鉛筆完成了原圖的一個(gè)硬拷貝， 希望看起來能更好看些。 Winfree 帶了大塊的紅色綠色的蠟和橘黃色的土以及大量的試管清潔布到實(shí)驗(yàn)室里。幾個(gè)小時(shí)過去了，有時(shí)我們偶爾會(huì)做出些聲響破除了寂靜，似乎有了些新的見解似的。對(duì)于我來說我覺得像是有了第二個(gè)腦子 ，一個(gè)更好的腦子。 到了八月份，我們必須要畫出連接的和扭曲環(huán)的所有可能的圖形。（為了做出結(jié)點(diǎn)，我們拿出了鞋帶，系到一個(gè) 鎖邊 結(jié)上好像開始系鞋帶一樣，然后把 末端 柔和到。我們對(duì)這個(gè)規(guī)律一點(diǎn)都布了解。我們經(jīng)常一起吃午飯，有陽光的日子我們經(jīng)常坐在離他們家不愿的池塘邊，然后他就開始畫草圖了，我在腦子離畫表面。但是最終我們 總是能夠互相了解對(duì)方，并且我們一起把這些主意注射到理論的一角里。 這就是我們所做的事 情。 與此同時(shí)，我和 Winfree 開始肋更具有理論性的問題，尋找卷波拓?fù)湟?guī)律。不 幸的是 Bill Buget 系統(tǒng)似乎已經(jīng)超負(fù)荷運(yùn)轉(zhuǎn)肋，已經(jīng)在我們苛刻的要求下呻吟的樣子。（就像激勵(lì)媒介中的沖撞波一樣） 根據(jù)要求，第二代蘋果機(jī) 計(jì)算出一個(gè)具有幾百個(gè)數(shù)字的表，表示一個(gè)扭曲卷表面的許多點(diǎn)。思路很簡單： 扭曲的 軸 最多像一圈螺旋的 肋骨 ，每個(gè)肋骨都聳立在另一個(gè)肋骨旁。 但是現(xiàn)在情況變得不同了。還有某些未知的規(guī)律沒有被發(fā)現(xiàn)。 Winfree 花了更多的努力揭示了盡管一個(gè)隔離的轉(zhuǎn)動(dòng)環(huán)是不可能的，一個(gè)相互連接的卻可能。 用拓?fù)鋵W(xué)理論 Winfree 很快證實(shí)了扭曲的滾動(dòng)環(huán)是不可能的，至少作為一個(gè)獨(dú)立的整體是不可能的。 為了檢驗(yàn)樣本，他把這堆東西切成許多薄層，就像 顯微鏡技術(shù)人員 在準(zhǔn)備奇異組織的切片一樣，然后重新用不反射的玻璃來把那些薄層組合起來。這個(gè)“滾動(dòng)環(huán)”確實(shí)存在嘛？ 1973 年他證明了這個(gè)“滾動(dòng)環(huán)”是確實(shí)存在的。 要么在燒杯壁上停下來，要么在與空氣接觸的地方停下來，或者根本就不停下來。 他用水母傘型的邊緣制作了一個(gè)神經(jīng)肌肉組織 ，然后在一個(gè)點(diǎn)上用電來激勵(lì)，同時(shí)注意波只在一個(gè)方向上傳播。而助手緊跟著每一個(gè)剛倒下的牌快速將其恢復(fù)。 Belousov 在最早的試驗(yàn)里發(fā)現(xiàn)了空間一致性而不是前后一致的同步，在試驗(yàn)里 Belousov 發(fā)現(xiàn)整個(gè)燒杯的顏色會(huì)一次性 全部 變色－－ 這個(gè)振蕩有點(diǎn)像足球場上的球迷們 的“波”。 由于螺旋結(jié)構(gòu)的 急轉(zhuǎn) 性而容易產(chǎn)生混亂： 傳播的時(shí)候有些像在旋轉(zhuǎn)。他們不需要起搏器：一個(gè)螺旋波本身就是起搏器。 在 1980 年， Boris Belousov， Zhabotinsky 和其他三個(gè)科學(xué)家被授予 Lenin 獎(jiǎng)，這個(gè)獎(jiǎng)是蘇聯(lián)的最高勛章，獎(jiǎng)勵(lì)他們在振動(dòng)反應(yīng)方面做出的貢獻(xiàn)。他自己調(diào)制了 Zaikin 和 Zhabotinsky 的方案，最終確定螺旋波是到處存在的。他曾經(jīng)在化學(xué)理論上 懷疑過；他認(rèn)為他已經(jīng)證明出了那些波就是閉環(huán)。這些波甚至有些像是從類似于起搏器傳播開來的，隨機(jī)的分散開的點(diǎn)自發(fā)的發(fā)出波。 Zhabotinsky證實(shí)了 Belousov 的正確性，并把這個(gè)研究成果在 1968 年布拉格 (前捷克斯洛伐克首都 )的國際會(huì)議上公布了，而這個(gè)會(huì)議是一次很難得的西方和蘇聯(lián)的科學(xué)家能夠同時(shí)參加的會(huì)議。一個(gè)編輯甚至風(fēng)趣的在拒絕信里說到 Belousov 是“想象的發(fā)現(xiàn)”。 現(xiàn)如今化學(xué)反應(yīng)自發(fā)振蕩并不變得奇怪了；這些反應(yīng)成為化學(xué)課上的典型實(shí)例。當(dāng)然，Zhabotinsky 試劑并不是真名――只是 Winfree 這么叫開了。在特殊情況下，正是有了 Zhabotinsky 試劑才發(fā)現(xiàn)了一種新的波： 一個(gè)旋轉(zhuǎn)的，自保持的形狀如螺旋狀的波。沒有像錯(cuò)綜復(fù)雜的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)心臟肌肉的交叉結(jié)構(gòu)那樣容易讓人混淆的生物解 剖。事實(shí)上 所有這些狀態(tài)都是由中心部分激勵(lì)開來。但是一旦有足夠的刺激神經(jīng)元就會(huì)立馬興奮起來。性激起和恢復(fù)依賴于神經(jīng)組織的特性，就像 Zhabotinsky 試劑屬于一種叫做激勵(lì)媒介系統(tǒng)的通用類型。 而 洶涌的 草火之間的相互撲滅也是相同的道理： 沒有哪一塊火苗能夠通過別的塊燃燒開來。并且這些波并不像聲波或水波那樣會(huì)衰減。 只是 化學(xué)反應(yīng)恢復(fù)的 速度要比草原恢復(fù)的要 快 ；第二個(gè)波能夠緊跟著前一個(gè)。但是如果你投入一小點(diǎn)那紅色的 Zhabotinsky 試劑到 陪替氏培養(yǎng)皿 中然后用銀線或熱的針戳進(jìn)去，它會(huì)突然產(chǎn)生藍(lán)色的圓環(huán)波像草火 一樣散發(fā)開來。從分子學(xué)尺度來說，特性更令人難忘，只要我們能看到： 萬億 個(gè)耦合的振蕩器在完美的同步下跳動(dòng)著。作為對(duì)比， Zhabotinsky 則 不斷的制造出有趣的事情來。但是卻比真實(shí)心臟要簡單的多 －－甚至他們不是活的－－并且沒有肌肉不能運(yùn)動(dòng)。你是唯一特例。每次當(dāng)他用一個(gè)刀片切開一節(jié)鐵絲活一張 超濾器 紙他高興的叫喊出“ zzzzup” ） 實(shí)驗(yàn)室里非常安靜。 1982 年六月一個(gè)悶熱的天當(dāng)我到達(dá) Winfree 的試驗(yàn)室的時(shí)候，他在全神貫注的準(zhǔn)備寫論文。另一方面 ，圓形卻不同于數(shù)字 8，因?yàn)椴煌ㄟ^裁剪是無法使它交叉的。當(dāng) Winfree 寫到 “ 拓?fù)浯鷶?shù) ” 時(shí)就提到了這個(gè)數(shù)學(xué)的分之拓?fù)鋵W(xué)，拓?fù)鋵W(xué)是一種 研究 連續(xù)形態(tài) 的學(xué)科一種深度概括的 富有彈性而非硬性的 幾何學(xué) 。甚至即使計(jì)算是可行的話（也許借助于大型計(jì)算機(jī)是可行的），做出的工作也是過于早熟的，因?yàn)檫€沒有人能夠準(zhǔn)確的翻譯出所發(fā)現(xiàn)的東西。 他想看看這些激勵(lì)時(shí)如何開始的，并且行為如何，應(yīng)該對(duì)他們做什么。 在一些病理學(xué)案例中，受激勵(lì)的細(xì)胞單元會(huì)叛變并保持它原有的轉(zhuǎn)動(dòng)，這個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)體會(huì)阻擋從起搏器傳來的信號(hào)。而胃則是兩維的神經(jīng) 肌肉 振動(dòng)包面，胃表面的每個(gè)單元都有節(jié)奏的攪動(dòng)著并且主要和胃表面的附近單元相互影響著。 因此，當(dāng) Winfree 決定要繼續(xù)攀登三維情況時(shí)，幾乎 沒有其他人愿意跟著他做了。正如你想象的，會(huì)有新事情發(fā)生，超處純同步理論的事情： 波動(dòng)可以從一個(gè)振蕩器穩(wěn)定的傳送到另一個(gè)振蕩器。 Wiener， Kuramoto， Peskin 甚至是 Winfree 他自己所作的突破都限制在最簡單的可行的全方位結(jié)合的方案里，這里的每個(gè)振蕩都相互均等的影響彼此。到現(xiàn)在為止在好幾方面 已經(jīng)變得越來越成熟了。他甚至不術(shù)語混沌改革者 。 我不希望任何的其他人再給你分配工作，除非你拒絕了這份工作。我打算研究拓?fù)浯鷶?shù)。 但是他是在生物部 工作，而且那生物學(xué)研究生學(xué)位并不是我的打算――數(shù)學(xué)才是我的專業(yè)。信里面紅色的 潦草的筆跡 ，幾個(gè)段落用箭頭連接著 ，是 Winfree 本人親自回的信： Steven Strogatz： 好，我覺得理所當(dāng)然你應(yīng)該到我這里來學(xué)習(xí)。有些是關(guān)于生命和死亡的事情。一章一章的，他構(gòu)建起了一個(gè)數(shù)學(xué)框架，揭露了實(shí)體是如何工作的。最后覺得挺荒謬――好像是上帝在阻止其他人拿走書店里唯一一本這本書。 幾天后我發(fā)現(xiàn)自己又倍 Heffer 的書勾回去了。不，不僅僅只是不平常。但是書的作者一個(gè)叫 Arthur 的人，在 Purdue University 生物部工作，很明顯已經(jīng)接觸過這方面了。（在大學(xué)四年級(jí)的時(shí)候我曾經(jīng)寫過一片關(guān)于 DNA 幾何結(jié)構(gòu)的論文，而這整個(gè)經(jīng)歷 是和一個(gè)世界級(jí)的生物化學(xué)家在一起做研究，用一些我學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到還沒有解決的 染色體 結(jié)構(gòu)問題上，這個(gè)經(jīng)歷讓我難忘，以至于自己想成為一個(gè)數(shù)學(xué)生物學(xué)家 ） ，我掃描書架，突然一個(gè)標(biāo)題為“生物時(shí)間的幾何”的書映入眼簾。英國的女生們聽不懂我說的笑話， 抱子甘藍(lán) 比較灰暗，整天陰雨蒙蒙，廁所的紙像蠟一樣。同步混沌讓我們與宇宙中讓人眼花繚亂的新世界面對(duì)面，或者至少是以前所沒有認(rèn)識(shí)過的； 一種 我們原以為只有我們?nèi)祟惒庞械乃囆g(shù)形式。對(duì)于 Gregory VanWiggeren和 Rajarshi Roy 的 鉺 光纖激光器，奇異吸引體的維度目前為止還不可知，但幾乎可以肯定的是帶小數(shù)點(diǎn)的，更重要的是很大，可能至少是 50 吧，一個(gè)極大的混沌形態(tài)。復(fù)雜度可以通過數(shù)字量化，叫做奇異吸引體的維度，是普通維度概念的概括。 他們第一次給出用 激光器 和光纖制作出來的 實(shí)驗(yàn)性示范 。 Kevin Short， 新罕布什爾州 立大學(xué)的一個(gè)數(shù)學(xué)家，展示了如何擊破到目前為止任何一個(gè)混沌編碼系統(tǒng)。在今天，蜂窩電話 擾頻器 確實(shí)存在，但是使用卻要花費(fèi)上白美元。 對(duì)于用蜂窩電話甚至是最低等級(jí)的 秘密 都可以采用混沌。從一開始 Al Oppenheim 就警告 Cuomo 和我不要吹噓結(jié)果。他撥打了 號(hào)碼連上了一個(gè)服務(wù)臺(tái)。 Pecora 訪問了安全局的總部，并且把他的研究成果向聽眾們介紹，其中有一個(gè)加密專家聽得非常認(rèn)真，但是卻沒有提出任何問題。 太空 作 戰(zhàn) 組 的科學(xué)家總結(jié)說這個(gè)新的裝置比較有趣，但海軍對(duì)這個(gè)卻沒什么需要。 Pecora 天真的和某個(gè)成員打賭說他可以把正弦波隱藏在混沌里面，讓來訪者把它從混沌信號(hào)里提取出來。 X 博士是一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)而又有能力的年輕人，帶著一個(gè)電腦，里面裝了模擬電子線路的軟件。一個(gè)高級(jí)長官對(duì) Pecora 說，先不要聲張所做的東西，等到太空作戰(zhàn)組有機(jī)會(huì)對(duì)這個(gè)做評(píng)估的時(shí)候再說，那時(shí)他們會(huì)派一些專家對(duì) 這套混沌電子系統(tǒng)進(jìn)行評(píng)估。而 Cuomo 和 Oppenheim 所采取的策略和他們的本質(zhì)上是相同的，甚至還沒有他們的好因?yàn)?Cuomo 的方法只用了一個(gè)信號(hào)來完成兩件事情――同步的建立和信號(hào)的傳播。 早在 1989 年秋季，他們的混沌電子線路研制成功的時(shí)候 Pecora 和 Carroll 就考慮混沌加密的問題。當(dāng)這個(gè)經(jīng)過掩蓋的信息被發(fā)送到接收端，它的輸出和原始的混沌信號(hào) 完全吻合，然后接收器立即減去掩碼信號(hào)，我們就能再聽到 Mariahcarey 的歌曲了。 然后再用示波器看，這兩個(gè)電路已經(jīng)可以同步運(yùn)行了，顯示出了一個(gè) 45 度的斜線。當(dāng) Cuomo 用示波器畫出 x，y 的圖，和奇異吸引體的蝴蝶翅膀一樣。這個(gè)方法可以有效的解決保密問題因?yàn)橥德犝咭瓿赏瑯拥男畔⒎蛛x是很 難的；因?yàn)樗恢罍p什么信號(hào)，不知道混合信號(hào)中哪部分是掩碼哪部分是信息。 這就是同步的由來。而在 Cuomo 和 Oppenheim 做的系統(tǒng)里，背景噪聲由電 子線路提供，由洛侖茲方程里的 x變量產(chǎn)生。 但是這并不是 Cuomo 出名的原因。 Cuomo 想把這些一股腦的全告訴我 ，但卻轉(zhuǎn)向他自己的 工作，鼓動(dòng)我看看他自己建造的電子線路――第一個(gè)洛侖茲方程的電子工具，并且想讓我檢驗(yàn)他發(fā)現(xiàn)的一個(gè)數(shù)學(xué)證