【正文】 證明： （ Ⅰ ）當 0a? 時， ? ? ? ?12 1222f x f x xxf? ???? ???? （ Ⅱ ）當 4a? 時， ? ? ? ?39。222 af x x xx? ? ? ∴ ? ? ? ?39。1 2 1 2 221 2 1 2221xx af x f x x x x x x x?? ? ? ? ? ? ? 下面證明對任意兩個不相等的正數(shù) 12,xx,有 ? ?12221 2 1 2221xx ax x x x?? ? ?恒成立 即證 ? ?1212 122 xxa x x xx???成立 第 13 頁 ∵ ? ?121 2 1 212 122 4xxx x x xxx xx?? ? ? 設 ? ? ? ?212 4,0t x x u x t tt? ? ? ?，則 ? ?39。39。1 2 1 2221 1 2 222aaf x f x x xx x x x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?1212 221 2 1 222 xx axx x x x x?? ? ? ? ? ∵ 12,xx是兩個不相等的正數(shù) ∴ ? ? ? ?12 3221 2 1 2 1 2122 422xx aax x x x x xxx?? ? ? ? ?? ?3 1212442 xxxx? ? ? 設121t xx? ， ? ? ? ?322 4 4 0u t t t t? ? ? ? 則 ? ? ? ?39。1 2 1 2 1 2221 2 1 222 xx af x f x x x x xx x x x?? ? ? ? ? ? ? ? ? 即對任意兩個不相等的正數(shù) 12,xx，恒有 ? ? ? ?39。 二填空題： （ 13）在三棱錐 O ABC? 中，三條棱 ,OAOB OC 兩兩互相垂直，且,OA OB OC M?? 是 AB 邊 的 中 點 ， 設 ||OA a? ，則| | | | | | 2A B B C C A a? ? ?， 316O ABCVa? ? ， O 點在底面的射影為底面△ABC 的中心， ||13O ABCABCVODS?? = 33a ，又 13| | | |36D M M C a??， OMDMCBAO 第 16 頁 與平面 ABC 所成角的正切是33tan 266? ??，所以二面角大小是 arctan 2 . （ 14）設離散性隨機變量 ? 可能取的值為 ? ? ? ?1 , 2 , 3 , 4 , 1 , 2 , 3 , 4P k a k b k? ? ? ? ?，所以 ( ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 1a b a b a b a b? ? ? ? ? ? ? ?，即 10 4 1ab??，又 ? 的數(shù)學期望 3E?? ，則 ( ) 2 ( 2 ) 3 ( 3 ) 4 ( 4 ) 3a b a b a b a b? ? ? ? ? ? ? ?，即 30 10ab??， 1 ,010ab??,∴ ab??110 . （ 15） 如圖，把橢圓 22125 16xy??的長軸 AB 分成 8 等份，過每個分點作x 軸的垂線交橢圓的上半部分于 1 2 3 4 5 6 7, , , , , ,P P P P P P P七個點， F 是橢圓的一個焦點，則根據(jù)橢圓的對稱性知，1 1 7 1 1 1 1 2| | | | | | | | 2P F P F P F P F a? ? ? ?，同理其余兩對的和也是 2a ，又41||PF a? ，∴ 1 2 3 4 5 6 7P F P F P F P F P F P F P F? ? ? ? ? ? ?7a =35 （ 16）非空集合 G 關于運算 ? 滿足：（ 1）對任意 ,ab G? ，都有 a b G?? ； （ 2）存在 eG? ，使得對一切 aG? ，都有 a e e a a? ? ? ?，則稱 G 關于運算 ? 為“融洽集”；現(xiàn)給出下列集合和運算： ① ? ? ,G ??非 負 整 數(shù) 為 整 數(shù) 的 加 法,滿足 任意 ,ab G? ，都有 a b G?? ，且令 0e? ，有00a a a? ? ? ?，所以①符合要求； ② ? ? ,G ??偶 數(shù) 為 整 數(shù) 的 乘 法,若存在 a e a e a? ? ? ?，則 1e? ，矛盾，∴ ②不符合要求； ③ ? ? ,G 平 面 向 量 為 平 面 向 量 的 加 法,取 0e? ，滿足要求，∴ ③符合要求； ④ ? ? ,G ??二 次 三 項 式 為 多 項 式 的 加 法，兩個二次三項式相加得到的可能不是二次三項式，所以④不符合要求； ⑤ ? ? ,G ??虛 數(shù) 為 復 數(shù) 的 乘 法，兩個虛數(shù)相乘得到的可能是實數(shù)，∴ ⑤不符合要求， 這樣 G 關于運算 ? 為“融洽集”的有①③。滿分 12 分。 解：（ Ⅰ ）由題意， ??na 是首項為 1，公差為 2 的等差數(shù)列 前 n 項和 ? ? 21 1 2 12n nS n n? ? ?? ? ?， 2ln ln 2 lnnS n n?? ? ? ? ?2 l n 1 l n 2 l n 2 l n !nU n n? ? ? ? ? （ Ⅱ ） ? ?? ? ? ?? ?2 22222! 22 ! 2 !nU nnnn nexF x x x nn n n n? ? ? ? ? ? ?39。 解：由雙曲線的定義可知，曲線 E 是以 ? ? ? ?122 , 0 , 2 , 0FF?為焦點的雙曲線的左支， 第 20 頁 且 2, 1ca??，易知 1b? 故曲線 E 的方程為 ? ?2210x y x? ? ? 設 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,A x y B x y，由題意建立方程組2211y kxxy???? ??? 消去 y ，得 ? ?221 2 2 0k x kx? ? ? ? 又已知直線與雙曲線左支交于兩點 ,AB，有 ? ? ? ?22 212 212 2102 8 1 02 012 01kkkkxxkxxk? ???? ? ? ? ?????? ? ? ?? ?? ?? ??? ?? 解得 21k? ? ?? 又∵ 2 121AB k x x? ? ? ? ? ? 22 1 2 1 214k x x x x? ? ? ? ? 2222221411kk kk????? ? ? ? ?????? ?? ?? ?22221221kkk???? 依題意得 ? ?? ?? ?2222122 6 31kkk?? ?? 整理后得 422 8 5 5 2 5 0kk? ? ? ∴ 2 57k ? 或 2 54k ? 但 21k? ? ?? ∴ 52k?? 故直線 AB 的方程為 5 102 xy? ? ? 設 ? ?,ccCx y ，由已知 OA OB mOC?? ，得 ? ? ? ? ? ?1 1 2 2, , ,ccx y x y m x m y?? ∴ ? ? 1 2 1 2,cc x x y ym x m y mm????? ????， ? ?0m? 又12 22 451kxx k? ? ? ??， ? ? 21 2 1 2 222 2 811ky y k x x kk? ? ? ? ? ? ? ??? ∴ 點 4 5 8,Cmm??????? 將點 C 的坐標代入曲線 E 的方程，得2280 64 1mm?? 得 4m?? ，但當 4m?? 時，所得的點在雙曲線的右支上，不合題意 ∴ 4m? ， C 點的坐標為 ? ?5,2? C 到 AB 的距離為? ?225 5 2 12 13512? ? ? ????????? ∴ ABC? 的面積 116 3 323S ? ? ? ? 第 21 頁 22．本小題主要考查導數(shù)的基本性質(zhì)和應用，函數(shù)的性質(zhì)和平均值不等式等知識及綜合分析、推理論證的能力，滿分 14 分。 2 111 2210111111nnnknkkk nxxxxT x F x x n xxxxx???? ?? ?????? ? ? ??? ?? ?? ???? ? ?? ?? ?? ?? ?22212221l i m 1 0 11l i m l i m 1 1111l i m 11nnnnnnnnnnxxxTx nxT x nxxxx???? ? ? ?????????? ? ?? ???? ? ????? ????????????????? ??? 21．本小題主要考察雙曲線的定義和性質(zhì)、直線與雙曲線的關系、點到直線的距離等知識及解析幾何的基本思想、方法和綜合解決問題的能力。滿分 12 分 解法一：（ Ⅰ）證明：取 CD的中點 K ，連結(jié) ,MKNK ∵ ,MNK 分別為 1,AK CD CD 的中點 ∵ 1// , //MK AD NK DD ∴ //MK 面 11ADDA ， //NK 面 11ADDA ∴面 //MNK 面 11ADDA ∴ //MN 面 11ADDA （Ⅱ）設 F 為 AD 的中點 ∵ P 為 11AD 的中點 ∴ 1//PF DD ∴ PF? 面 ABCD 作 FH AE? ，交 AE 于 H ，連結(jié) PH ，則由三垂線定理得 AE PH? 從而 PHF? 為二面角 P AE D??的平面角。滿分 12 分。1 2 1 2f x f x x x? ? ? 錄入：四川省內(nèi)江市隆昌縣黃家中學 第 14 頁 程 亮 參考答案 一．選擇題： 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D D B D B A C A C A B （ 1）已知集合 ? ?2 5 6 0A x x x? ? ? ?={ | 2 3}xx≤≤ ，集合 ? ?2 1 3B x x? ? ?{ | 2或 1}x x x? ? ?，則集合 AB? ? ?23xx?? ，選 C. （ 2）復數(shù) ? ?31i? =1 3 3 2 2i i i? ? ? ? ? ?,所以它 的虛部為 － 2，選 D. （ 3）已知 ? ? 2 3 , 12 , 1xxfx x???? ? ??，則11lim ( ) lim ( ) 5xxf x f x??????，而 (1) 2f ? ，∴ 正確的結(jié)論是? ?1lim 5x fx?? ? ，選 D. （ 4）已知二面角 l???? 的大小為 060 ， ,mn為異面直線，且 ,mn????，則 ,mn所成的角為兩條直線所成的角，∴ θ= 060 ，選 B. （ 5）從圖象看出， 41 T=12 6 4? ? ???，所以函數(shù)的最小正周期為 π，函數(shù)應為 y=sin2x 向左平移了 6? 個單位， 即 sin 2( )6yx???= s in ( 2 ) c o s ( 2 ) c o s ( 2 )3 2 3 6x x x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?，所以選 D. （ 6）已知兩定點 ? ? ? ?2,0 , 1,0AB? ，如果動點 P 滿足 2PA PB? ，設 P 點的坐標為 (x， y)， 則 2 2 2 2( 2) 4 [ ( 1 ) ]x y x y? ? ? ? ?，即 22( 2) 4xy? ? ?，所以點 P 的軌跡所包圍的圖形的面積等于 4π，選 B. (7) 如圖，已知正六邊形 1 2 3 4 5 6PPPPPP ，設邊長 12||PP a? ，則∠ 213PPP =6? .，13| | 3PP a? , 1 2 1 3,PP PP = 2333 22aaa? ? ? ，∠ 2 1 4PPP =3? ， 14| | 2PP a? ，1 2 1 4,PP PP = 212 2a a a? ? ? ， 1 2 1 5,PP PP =0， 1 2 1 6,PP PP 0，∴ 數(shù)量積中最大的是 1 2 1 3,PP PP ，選 A. (8) 某廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品每千克需用原料 A 和原料 B 分 別為 11,ab，生產(chǎn)乙產(chǎn)品每千克需用原料 A 和原料 B分別為 22,ab千克，甲、乙產(chǎn)品每千克可獲利潤分別為 12,dd元，月初一次性夠進本月用原料 ,AB各 12,cc千克，要計劃本月生產(chǎn)甲產(chǎn)品 和乙產(chǎn)品各多少千克才能使月利潤總額達到最大；在這個問題中，設全月生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為 x