【正文】 ： 過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，則在Rt△CDB中，依據(jù)勾股定理，得 a2=CD2+BD2. ∵在Rt△ADC中，CD2=b2AD2， 又∵BD2=(cAD)2=c22c?AD+AD2， ∴a2=b2AD2+c22c?AD+AD2=b2+c22c?AD. 又∵在Rt△ADC中，AD=b?cosA， ∴a2=b2+c22bccosA. 類似地可以證明b2=c2+a22cacosB. c2=a2+b22abcosC. 另外，當(dāng)A為鈍角時(shí)也可證得上述結(jié)論，當(dāng)A為直角時(shí)，a2+b2=c2也符合上述結(jié)論. 這就是解三角形中的另一個(gè)重要定理——，用向量的方法探究余弦定理，進(jìn)一步體會(huì)向量學(xué)問的工具性作用. 老師與同學(xué)一起探究余弦定理中的角是以余弦的形式消失的，又涉及邊長(zhǎng)問題，同學(xué)很簡(jiǎn)單想到向量的數(shù)量積的定義式：a?b=|a||b|cosθ，其中θ為a，b的夾角. 用向量法探究余弦定理的詳細(xì)過程如下： 如下圖，設(shè)CB→=a，CA→=b，AB→=c，那么c=ab， |c|2=c?c=(ab)?(ab) =a?a+b?b2a?b =a2+b22abcosC. 所以c2=a2+b22abcosC. 同理可以證明a2=b2+c22bccosA， b2=c2+a22cacosB. 這個(gè)定理用坐標(biāo)法證明也比較簡(jiǎn)單，為了拓展同學(xué)的思路，老師可引導(dǎo)同學(xué)用坐標(biāo)法證明，過程如下： 如下圖，以C為原點(diǎn)，邊CB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,0)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(bcosC，bsinC)，依據(jù)兩點(diǎn)間距離公式 AB=(bcosCa)2+(bsinC0)2， ∴c2=b2cos2C2abcosC+a2+b2sin2C， 整理，得c2=a2+b22abcosC. 同理可以證明：a2=b2+c22bccosA， b2=c2+a22cacosB. 余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即 a2=b2+c22bccosAb2=c2+a22accosBc2=a2+b22abcosC 余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個(gè)角之間的關(guān)系，每一個(gè)等式中都包含四個(gè)不同的量，它們分別是三 角形的三邊和一個(gè)角，知道其中的三個(gè)量，得到余弦定理的另一種形式： cosA=b2+c2a22bccosB=c2+a2b22cacosC=a2+b2c22ab 老師引導(dǎo)同學(xué)進(jìn)一步觀看、分析余弦定理的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)覺余弦定理與以前的關(guān)于三角形的勾股定理在形式上特別接近，若△ABC中，C=90176。假如兩邊的平方和大于第三邊的平方，余弦定理可以看作是勾股定理的推廣. 應(yīng)用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)解三角形的問題： ①已知三角形的三邊解三角形，這類問題是三邊確定，故三角也確定，有解。 再由正弦定理，得 sinA=asin∠BCAc=33219=33219≈ 0， 因此∠A≈176。. 設(shè)BC邊上的高為AD，則 AD=csinB=176。. ∴B=180176。)=100176。. 例4在△ABC中，已知a=8，b=7，B=60176。. ∴C1=176。. 整理，得c28c+15=0， 解之，得c1=3，c2=5.∴S△ABC=12ac1sinB=63或S△ABC=12ac2sinB=103. 點(diǎn)評(píng)：在解法一的思路里，應(yīng)留意用正弦定理應(yīng)有兩種結(jié)果，避開遺漏。 (2)若sinB=2sinA，求△ABC的面積. 解：(1)由余弦定理及已知條件，得a2+b22abcos60176。 p= 即三角形的角為120176。 ②依據(jù)asinA=bsinB及asinA=csinC，求b、c. 假如已知的是兩角和它們的夾邊，如A、B、c，那么先求出第三角C，然后根據(jù)②. (2)已知兩邊和它們的夾角，如a、b、C，解△ABC. 解：①依據(jù)c2=a2+b22abcosC，求出邊c。 ②求出B后，由A+B+C=180176。而“需解三角形”，一般來說其中必有一個(gè)三角形是可解的，我們就可先求出這個(gè)“可解三角形”的某些邊和角，從而使“需解三角形”“可解三角形”和“需解三角形”后，就要正確地推斷它們的類型，合理地選擇正弦定理或余弦定理作為解題工具，求出需求元素，并確定解的狀況. “可解三角形”和“需解三角形”的引入，能縮短求解斜三角形問 ，先做什么，再做什么，“試試看”“做做看”等不大確定的狀態(tài)而變?yōu)椤坝械姆攀浮钡厝ネ诰?，去探? 二、備用習(xí)題 1.△ABC中，已知b2bc2c2=0，a=6，cosA=78，則△ABC的面積S為(　　) 、b和a2+b2+ab，則這個(gè)三角形的角是(　　) 176。 ，那么第三邊長(zhǎng)x的取值范圍是(　　) A.(1,5) B.(1，5) C.(5，5) D.(5，13) ，則這個(gè)新三角形的外形為(　　) 5.(1)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，已知a=3，b=3，C=30176?！?2)612　解析：(1)∵a=3，b=3，C=30176。 的左支上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離是7，則這點(diǎn)到雙曲線的右焦點(diǎn)的距離是 的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 。 的半焦距為 ，直線 過 兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線 的距離為 ，求雙曲線的離心率。則這樣的直線一共有 條。 (2)重點(diǎn)、難點(diǎn)。 (2)力量目標(biāo)：提高同學(xué)分析問題、解決問題的力量。 教學(xué)過程分如下幾個(gè)環(huán)節(jié)： 教學(xué)過程課堂引入 定理推導(dǎo) 證明定理 總結(jié)定理 歸納小結(jié) 反饋練習(xí) 課堂總結(jié)、布置作業(yè) 詳細(xì)教學(xué)過程如下： (1)課堂引入： 正余弦定理廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)生活的各個(gè)領(lǐng)域，如航海，測(cè)量天體運(yùn)行，那正余弦定理解決實(shí)際問題的一般步驟是什么呢? (2)定理的推導(dǎo)。 這個(gè)過程采納了不斷創(chuàng)設(shè)問題，啟發(fā)誘導(dǎo)的教學(xué)方法，引導(dǎo)同學(xué)自主發(fā)覺和探究。 (3)例題設(shè)置。②提高解決實(shí)際問題的力量 例2△ABC中，a=20，b=28，A=40176。 設(shè)計(jì)意圖： ①增加同學(xué)對(duì)定理敏捷運(yùn)用的力量 ②提高分析問題解決問題的力量 ③激發(fā)同學(xué)的參加意識(shí)，培育同學(xué)合作溝通、競(jìng)爭(zhēng)的意識(shí)，使同學(xué)在相互影響中共同進(jìn)步。 這樣的歸納總結(jié)是通過同學(xué)實(shí)踐，在新舊學(xué)問比照之后形成的，避開了同學(xué)的被動(dòng)學(xué)習(xí)，抽象記憶，讓同學(xué)形成對(duì)自我的認(rèn)同和對(duì)社會(huì)的責(zé)任感。 ③△ABC中，已知a=60，b=48，A=92176。 第 34 頁(yè) 共 34 頁(yè)。 通過同學(xué)形成性的練習(xí)，鞏固了對(duì)定理的熟悉和應(yīng)用，也便于老師把握學(xué)情，以為教學(xué)的進(jìn)行作出合理支配。 (5)反饋練習(xí)： 練習(xí)①△ABC中，已知a=60，b=48，A=36176。 借助多媒體動(dòng)態(tài)演示：圖表 使同學(xué)對(duì)于已知兩邊和其中一邊對(duì)角，三角形解的狀況有一個(gè)清楚直觀的熟悉。①兩組解，②一組解 例3同時(shí)給出兩道題，首先留給同學(xué)肯定的思索時(shí)間，同時(shí)讓兩同學(xué)板演，以便兩題形成對(duì)比、比較。C=30176。 在定理的推導(dǎo)過程中，我注意“重過程、重體驗(yàn)”培育了同學(xué)的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐力量，訓(xùn)練同學(xué)獨(dú)立嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的求學(xué)態(tài)度，使情感目標(biāo)、力量目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)。 ②連續(xù)引導(dǎo)同學(xué)觀看特點(diǎn)，有A邊A角，B邊B角。 (三)教學(xué)過程 老師的主要作用是調(diào)控課堂，適時(shí)引導(dǎo)，引導(dǎo)同學(xué)自主發(fā)覺，自主探究。 ②能夠運(yùn)用正余弦定理解三角形。 3. 雙曲線 的焦距為 4. 已知雙曲線 的一個(gè)頂點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為 ，則 5. 設(shè) 是等腰三角形， ，則以 為焦點(diǎn)且過點(diǎn) 的雙曲線的離心率為 . 6. 已知圓 。 有共同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn) 的雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離是 。 有公共的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn) 的雙曲線的方程為 ，且與橢圓 有公共焦點(diǎn)，求該雙曲線的方程。. (2)∵bccosA+cacosB+abcosC=b2+c2a22+c2+a2b22+a2+b2c22 =a2+b2+c22=32+42+622=612. ：由正弦定理，得sinCsinB=cb， 由sinC=2sinBcosA，得cosA=sinC2sinB=c2b， 又依據(jù)余弦定理，得cosA=b2+c2a22bc， 故c2b=b2+c2a22bc，即c2=b2+c2a2. 于是，得b2=a2，故b=a. 又因?yàn)?a +b+c)(a+bc)=3ab， 故(a+b)2c2==b，得4b2c2=3b2， 所以b2=c2，即b==b=c. 因此△ABC為正三角形. ：S=a2(bc)2，又S=12bcsinA， ∴12bcsinA=a2(bc)2， 有14sinA=(b2+c2a2)2bc+1， 即14?2sinA2?cosA2=1cosA. ∴12?sinA2?cosA2=2sin2A2. ∵sinA2≠0，故12cosA2=2 sinA2，∴tanA2=14. 高考文科數(shù)學(xué)一輪教案20XX范文4 了解雙曲線的定義，幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它的簡(jiǎn)潔性質(zhì)。① 由余弦定理，得a2=b2+c22bccosA，即6=b2+c274bc.② 解