廣西南寧市20xx年高考數(shù)學一模試卷（文科） (文件)
【正文】 本題考查概率的計算，考查導數(shù)的幾何意義，考查學生的計算能力，屬于中檔題． 15．我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》有如下問題： “今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤．斬末一尺，重二斤．問次一尺各重幾何？ ”意思是： “現(xiàn)有一根金杖，長 5 尺，一頭粗，一頭細．在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤；在細的一端截下 1尺，重 2 斤；問依次每一尺各重多少斤？ ”設該金杖由粗到細是均勻變化的，其重量為 M，現(xiàn)將該金杖截成長度相等的 10 段，記第 i 段的重量為 ai（ i=1， 2， … ，10），且 a1＜ a2＜ … ＜ a10，若 48ai=5M，則 i= 6 ． 【考點】 等差數(shù)列的通項公式． 【分析】 由題意知由細到粗每段的重量成等差數(shù)列，記為 {an}且設公差為 d，由條件和等差數(shù)列的通項公式列出方程組，求出 a1和 d 值，由等差數(shù)列的前 n 項和公式求出該金杖的總重量 M，代入已知的式子化簡求出 i 的 值． 【解答】 解：由題意知由細到粗每段的重量成等差數(shù)列， 記為 {an}，設公差為 d， 則 ，解得 a1= ， d= ， 所以該金杖的總重量 M= =15， 因為 48ai=5M，所以 48[ +（ i﹣ 1） ]=25， 即 39+6i=75，解得 i=6， 故答案為： 6． 【點評】 本題考查等差數(shù)列的通項公式、前 n 項和公式的實際應用，以及方程思想，考查化簡、計算能力． 16．在正方體 ABCD﹣ A1B1C1D1中， AA1=3，點 E 在棱 AB 上，點 F 在棱 C1D1上，且平面 B1CF∥ 平面 A1DE，若 AE=1，則三棱錐 B1﹣ CC1F 外接球的表面積為 19π ． 【考點】 球的體積和表面積． 【分析】 根據(jù)平面 B1CF∥ 平面 A1DE，得到 C1F=AE=1，再求出三棱錐 B1﹣ CC1F外接球直徑，問題得以解決． 【解答】 解：當 C1F=AE=1 時，可得 CF∥ A1E， 又 A1D1∥ B1C，且 CF∩ B1C=C， ∴ 平面 B1CF∥ 平面 A1DE， ∴ 三棱錐 B1﹣ CC1F 外接球的直徑為 = ， 其表面積為（ ） 2π=19π， 故答案為： 19π 【點評】 本題主要考查了正方體和三棱錐的幾何體的性質(zhì)以及球的表面積公式，屬于基礎題． 三、解答題（共 5 小 題，滿分 60 分） 17．（ 12 分）（ 2017?南寧一模）在 △ ABC 中，角 A， B， C 所對的邊分別為 a，b， c，且 accosB﹣ bccosA=3b2． （ 1）求 的值； （ 2）若角 C 為銳角， c= ， sinC= ，求 △ ABC 的面積． 【考點】 余弦定理；正弦定理． 【分析】 （ 1）由 accosB﹣ bccosA=3b2，利用余弦定理可得 ﹣ =3b2，化簡即可得出． （ 2）由角 C 為銳角， sinC= ，可得 cosC= ．利用余弦定理可得=a2+b2﹣ 2ab ，與 a=2b 聯(lián)立解得 b， a，即可得出． 【解答】 解：（ 1） ∵ accosB﹣ bccosA=3b2， ∴ ﹣ =3b2，化為： a=2b，因此 =2． （ 2） ∵ 角 C 為銳角， sinC= ， ∴ cosC= = ． ∴ =a2+b2﹣ 2ab ，化為： 3a2+3b2﹣ 2ab=33，又 a=2b， 聯(lián)立解得 b2=3， ∴ S△ ABC= sinC= = =2 ． 【點評】 本題考查了余弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題． 18．（ 12 分）（ 2017?南寧一模）某中學是走讀中學，為了讓學生更有效率利用下午放學后的時間，學校在本學期第一次 月考后設立了多間自習室，以便讓學生在自習室自主學習、完成作業(yè)，同時每天派老師輪流值班．在本學期第二次月考后，高一某班數(shù)學老師統(tǒng)計了兩次考試該班數(shù)學成績優(yōu)良人數(shù)和非優(yōu)良人數(shù)，得到如下 2 2 列聯(lián)表： 非優(yōu)良 優(yōu)良 總計 未設立自習室 25 15 40 設立自習室 10 30 40 總計 35 45 80 （ 1）能否在在犯錯誤的概率不超過 的前提下認為設立自習室對提高學生成績有效； （ 2）從該班第一次月考的數(shù)學優(yōu)良成績中和第二次月考的數(shù)學非優(yōu)良成績中，按分層抽樣隨機抽取 5 個成績，再從這 5 個成績中 隨機抽取 2 個，求這 2 個成績來自同一次月考的概率． 下面的臨界值表供參考： P（ K2≥ k0） k0 （參考公式： K2= ，其中 n=a+b+c+d） 【考點】 獨立性檢驗的應用；列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率． 【分析】 （ 1）由 2 2 列聯(lián)表，計算 K2，對照臨界值表得出結(jié)論； （ 2）根據(jù)分層抽樣比例求出所抽取的 5 個成績， 利用列舉法計算基本事件 數(shù)、計算對應的概率值． 【解答】 解：（ 1）由 2 2 列聯(lián)表，計算 K2的觀測值為 k= = ＞ ， 對照臨界值表，得出能在犯錯誤的概率不超過 的前提下， 認為設立自習室對提高學生成績有效； （ 2）根據(jù)分層抽樣原理， 從第一次月考數(shù)學優(yōu)良成績中抽取 5=3 個，記為 A、 B、 C； 從第二次月考數(shù)學優(yōu)良成績中抽取 5=2 個，記為 d、 e； 則從這 5 個成績中抽取 2 個，基本事件是 AB、 AC、 Ad、 Ae、 BC、 Bd、 Be、 Cd、 Ce、 de 共 10 個， 其中抽取的 2 個成績均來自同一次月考的基本事件有 AB、 AC、 BC、 de 共 4 個， 故所求的概率為 P= = ． 【點評】 本題考查了獨立性檢驗與列舉法求古典概型的概率問題，是基礎題． 19．（ 12 分）（ 2017?南寧一模）如圖，在四棱錐 A﹣ BCED 中， AD⊥ 底面 BCED，BD⊥ DE， ∠ DBC=∠ BCE═ 60176。 ∵∠ BCE=60176。 ， 故直線 l 的方程為 x=177。 ∴∠ CEM=90176。 BD=2CE， ∴ BC=3CE， ∵ M、 N 是棱 BC 的兩 個三等分點， ∴ MN=CE， BD=BN， ∵∠ DBC=60176。 數(shù)據(jù)總和，以及中位數(shù)的定義，屬于基礎題． 4．已知函數(shù) f（ x） =cos（ ωx﹣ ）（ ω＞ 0）的最小正周期為 π，則函數(shù) f（ x）的圖象（ ） A．可由函數(shù) g（ x） =cos2x 的圖象向左平移 個單位而得 B．可由函數(shù) g（ x） =cos2x 的圖象向右平移 個單位而得 C．可由函數(shù) g（ x） =cos2x 的圖象向左平移 個單位而得 D．可由函數(shù) g（ x） =cos2x 的圖象向右平移 個單位而得 【考點】 余弦函數(shù)的圖象． 【分 析】 根據(jù)函數(shù) f（ x）的最小正周期為 π，求出解析式，在利用三角函數(shù)的平移變換考查也選項即可． 【解答】 解：函數(shù) f（ x） =cos（ ωx﹣ ）（ ω＞ 0）的最小正周期為
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