蘇教版高中數(shù)學(xué)選修2-132空間向量的應(yīng)用同步測(cè)試題-wenkub
2022-12-16 09:20:40 本頁(yè)面
【正文】 長(zhǎng)為 a 的正方體 1 1 1 1ABCD A B C D? 中，求異面直線 1BA 與 AC 所成的角． 解： 11BA BA BB??， AC AB BC??， 11( ) ( )B A A C B A B B A B B C? ? ? ? 11B A A B B A B C B B A B B B B C? ? ? ?， AB BC? ， 1BB AB? ， 1BB BC? ， 0BA BC??， 1 0BB AB? ， 1 0BB BC? ， 又 2BA AB a?? ， 21BA AC a? ? ? ， 1 2BA a?， 2AC a? ， 21111c o s 222BA AC aBA AC aaBA AC?? ? ? ? ??， ． 1 120BA AC??，即異面直線 1BA 與 AC 所成的角為 60 ． 14．如圖 1，在四棱錐 P ABCD? 中，底面 ABCD 為矩形，側(cè)棱 PA? 底面 ABCD ， 3AB? ， 1BC? ， 2PA? ， E 為 PD 的中點(diǎn)． （ 1）求直線 AC 與 PB 所成角的余弦值； （ 2）在側(cè)面 PAB 內(nèi)找一點(diǎn) N ，使 NE? 面 PAC ，并求出 N 點(diǎn)到直線 AB和 AP 的距離． 解：（ 1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則 A B C D P E， ， ， ， ，的坐標(biāo)為 ( 0 0 0) ( 3 0 0) ( 3 1 0)A B C， ， ， ， ， ， ， ， 1( 0 1 0 ) ( 0 0 2 ) 0 12D P E ??????， ， ， ， ， ， ， ， 從而 ( 3 1 0 ) ( 3 0 2 )A C P B? ? ?， ， ， ， ，． 設(shè) AC 與 PB 的夾角為 ? ， 則 3 3 7c o s1427AC PBAC PB? ? ? ?， AC? 與 PB 所成角的余弦值為 3714 ； （ 2）由于 N 點(diǎn)在側(cè)面 PAB 內(nèi)，故可設(shè) N 點(diǎn)坐標(biāo)為 ( 0 )xz， ， ， 則 1 12NE x z??? ? ?????， ， 由 NE? 面 PAC ，可得 00NE APNE AC? ??????， 即1 1 ( 0 0 2) 021 1 ( 3 1 0) 02xzxz???? ? ?????? ????? ? ? ???????， ， ， ， ， ， ， ， ． 化簡(jiǎn)，得 101302zx?????? ? ???，．361xz? ???????，． 即 N 點(diǎn)的坐標(biāo)為 3 016??????， ，從而 N 點(diǎn)到 AB AP， 的距離分別為 316， ． 15 ． 如 圖 2 ， 底 面 是 直 角 梯 形 的 四 棱 錐 S ABCD? ，90BAD ABC? ? ? ?， SA? 底面 ABCD ， 1SA AB BC? ? ?，12AD? ，求面 SCD 與面 SAB 所成的二面角的余弦值． 解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系， 則 1( 0 1 0 ) 0 0 ( 0 0 1 ) (1 1 0 )2B D S C??????， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ( 0 1 0) ( 0 0 1 )AB AS? ? ?
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