蘇教版高中數(shù)學(xué)選修2-132空間向量的應(yīng)用同步測試題-閱讀頁
2024-12-25 09:20本頁面
【正文】 ?平面 ABE ． CB AE??． AE??平面 BCE ． （ 2） 以線段 AB 的中點(diǎn)為原點(diǎn) O ， OE 所在直線為 x 軸， AB 所 在直線為 y 軸，過 O 作 平行于 AD 的直線為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo) O xyz? ． 易知 AE BE? ，得 1OE? ， ( 0 1 0) (1 0 0) ( 0 1 2)A E C??， ， ， ， ， ， ， ， (1 1 0) ( 0 2 2)A E A C??， ， ， ， ，． 設(shè)平面 AEC 的一個(gè)法向量為 ()x y z? ， ，n ． 則 00AEAC? ??????，nn即 0220x y y xy z z x? ? ? ??????? ? ???， ，． 令 1x? ，得 (1 11)??， ，n 是平面 AEC 的一個(gè)法向量． 又平面 ABC 的一個(gè)法向量為 (100)? ， ，m ， 3c o s 3? ? ?， mnmn mn． ?二面角 B AC E??的大小為 3arccos 3 ． （ 3） AD z∥ 軸， 2AD? ， (0 0 2)AD??， ， ． ?點(diǎn) D 到平面 ACE 的距離 23c o s 3ADd AD AD? ? ?， nn n． 15．如圖 4，正方形 1 2 3SGGG 中， EF， 分別是 12GG ， 23GG 的中點(diǎn)， D 是 EF 的中點(diǎn)，現(xiàn)沿 SE SF， 及 EF 把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使 1 2 3G G G， ， 三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為 G ． （ 1）求證：平面 ESG? 平面 FSG ； （ 2）求二面角 G SE F??的余弦值． （ 1）證明：正方形 1 2 3SGGG 按題意折成的四面體如圖所示 ， 折疊后，有 SG GE? ， SG GF? ， EG GF? ， SG GF G??， EG??平面 FSG ， 又 EG? 平面 ESG ， ?平面 ESG? 平面 FSG ； （ 2）解：如圖，以 G 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)正方形 1 2 3SGGG 的邊長為 1，則 11( 0 0 0 ) 0 0 0 0 ( 0 0 1 )22G E F S? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，． 1 1 10 1 02 2 2E S E F? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， ， ， ， ， 設(shè) 1 ()x y z? ， ，n 是平面 SEF 的法向量 故 111( ) 0 1 00 22110 ( ) 0 022x y zES xzxyEF x y z? ???????? ? ??? ? ? ???? ? ? ???? ?? ?? ????? ???， ， ， ， ，．， ， ， ，nn 令 1z? ，則 22xy??， ， 所以 1 (221)? ， ，n 是平面 SEF 的一個(gè)法向量， 又因?yàn)?FG? 平面 SGE ， 所以 2 (010)? ， ，n 是平面 SGE 的一個(gè)法向量， 設(shè)二面角 G SE F??的平面角為 ? ， 則 1212( 2 2 1 ) ( 0 1 0 )c o s 91? ?? ?， ， ， ，nnnn ．
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