【正文】 的頂點為 M，與 x軸相交于 A、 B 兩點，與 y軸交于點D；拋物線 C2與拋物 線 C1關(guān)于 y 軸對稱，頂點為 N，與 x軸相交于 E、 F 兩點． （ 1）拋物線 C2的函數(shù)關(guān)系式是 _________ ； （ 2）點 A、 D、 N 是否在同一條直線上？說明你的理由； （ 3）點 P 是 C1上的動點，點 P′是 C2上的動點，若以 OD 為一邊、 PP′為其對邊的四邊形ODP′P（或 ODPP′）是平行四邊形，試求所有滿足條件的點 P 的坐標； （ 4）在 C1上是否存在點 Q，使 △ AFQ 是以 AF 為斜邊且有一個角為 30176。 二次函數(shù) 綜合 4 農(nóng)安縣合隆中學 徐亞惠 一．選擇題（共 12 小題 ） 1．下列函數(shù)中，不是二次函數(shù)的是（ ） A． y=1﹣ x2 B． y=2（ x﹣ 1） 2+4 C． y= （ x﹣ 1）（ x+4） D． y=（ x﹣ 2） 2﹣ x2 2．如圖，直角梯形 ABCD 中， ∠ A=90176。的直角三角形？若存在，求出點 Q 的坐標；若不存在，請說明理由． 二次函數(shù) 綜合 4 參考答案與試題解析 一．選擇題（共 12 小題） 1．下列函數(shù)中，不是二次函數(shù)的是（ ） A． y=1﹣ x2 B． y=2（ x﹣ 1） 2+4 C． y= （ x﹣ 1）（ x+4） D． y=（ x﹣ 2） 2﹣ x2 考點 ： 二次函數(shù)的定義． 324259 分析： 利用二次函數(shù)的定義，整理成一般形式就可 以解答． 解答： 解： A、 y=1﹣ x2=﹣ x2+1，是二次函數(shù)，正確； B、 y=2（ x﹣ 1） 2+4=2x2﹣ 4x+6，是二次函數(shù)，正確； C、 y= （ x﹣ 1）（ x+4） = x2+ x﹣ 2，是二次函數(shù)，正確； D、 y=（ x﹣ 2） 2﹣ x2=﹣ 4x+4，是一次函數(shù)，錯誤． 故選 D． 點評： 本題考查二次函數(shù)的定義． 2．如圖，直角梯形 ABCD 中， ∠ A=90176。1． ∴ A（﹣ 1， 0）， B（ 1， 0）， ∵ C 與 C1關(guān)于點 B 中心對稱， ∴ 拋物線 n 的解析式為： y=（ x﹣ 2） 2﹣ 1=x2﹣ 4x+3； 令 x=0，得： y=b． ∴ C（ 0， b）． 令 y=0，得： ax2+b=0， ∴ x=177。= ， DE=OD?cos30176。 ），或（ ， 177。 ∴ ME 是 ⊙ P 的切線； （ 3）解： ①如圖乙，延長 AB 交拋物線于 A′，連 CA′交對稱軸 x=3 于 Q，連 AQ， 則有 AQ=A′Q， ∴△ ACQ 周長的最小值為 AC+A′C 的長， ∵ A與 A′關(guān)于直線 x=3 對稱， ∴ A（ 0， 2）， A′（ 6， 2）， ∴ A′C= =2 ，而 AC= =2 ， ∴△ ACQ 周長的最小值為 2 +2 ； ②當 Q 點在 F 點上方時， S=S 梯形 ACFK﹣ S△ AKQ﹣ S△ CFQ= （ 3+1） 2﹣ （ 2﹣ t） 3﹣t1=t+1， 同理，可得：當 Q 點在線段 FN 上時， S=1﹣ t， 當 Q 點在 N 點下方時， S=t﹣ 1． 點評： 此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，圓的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題綜合性很強，題目難度較大，解題的關(guān)鍵是方程思想、分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 25．如圖，拋物線 C1： y=x2+2x﹣ 3 的頂點為 M，與 x軸相交于 A、 B 兩點，與 y軸交于點D；拋物線 C2與拋物線 C1關(guān)于 y 軸對稱，頂點為 N，與 x軸相交于 E、 F 兩點． （ 1）拋物線 C2的函數(shù)關(guān)系式是 y=x2﹣ 2x﹣ 3 ； （ 2）點 A、 D、 N 是否在同一條直線上？說明你的理由； （ 3）點 P 是 C1上的動點，點 P′是 C2上的 動點，若以 OD 為一邊、 PP′為其對邊的四邊形ODP′P（或 ODPP′）是平行四邊形，試求所有滿足條件的點 P 的坐標； （ 4）在 C1上是否存在點 Q，使 △ AFQ 是以 AF 為斜邊且有一個角為 30176。 ； 故點 P 的坐標為（ ，﹣ ）或（﹣ ，﹣ ）． （ 4）滿足條件的點 Q 不存在，理由如下： ①當點 Q 在 x軸下方時， ∠ AFQ=30176。； 同 ①可求得， Q（ ， ），代入拋物線 C1： y=x2+2x﹣ 3 中，等式不成立； 綜上，不存在 符合條件的點 Q 使得 △ AFQ 是以 AF 為斜邊且有一個角為 30176。 QG⊥ AF，有： AQ= AF=3， AG= = = ， QG=AG?tan60176。那么首先通過解直角三角形求出點 Q的坐標，再代入拋物線 C1的解析式中進行驗證即可； ②當點 Q 在 x軸上方時， ∠ FAQ=30176。 ∵∠ DEG=∠ BEC ∴△ DEG∽△ BEC ∵ DE： BE=4： 1， ∴ DG： BC=4： 1； 已知 BC=1，則 DG=4，點 D 的橫坐標為 4； 將 x=4 代入 y= x2+ x﹣ 3 中，得 y=5，則 D（ 4， 5）． ∵ 直線 y= x+m 過點 D（ 4， 5） ∴ 5= 4+m，則 m=2； ∴ 所求直線的表達式 y= x+2． （ 3）由（ 2）的直線解析式知： F（ 0， 2）， OF=2； 設(shè)點 M（ x， x+2）， 則： OM2= x2+3x+ FM2= x2； （ Ⅰ ）當 OF 為菱形的對角線時，點 M 在線段 OF 的中垂線上，則點 M 的縱坐標為 1； ∴ x+2=1， x=﹣ ；即點 M 的坐標（﹣ ， 1）． （ Ⅱ ）當 OF 為菱形的邊時，有： ①FM=OF=2，則： x2=4， x1= 、 x2=﹣ 代入 y= x+2 中，得： y1= 、 y2= ； 即點 M 的坐標（ ， ）或（﹣ ， ）； ②OM=OF=2，則： x2+3x+4=4， x1=0（舍）、 x2=﹣ 代入 y= x+2 中，得： y= ； 即點 M 的坐標（﹣ ， ）； 綜上，存在符合條件的點 M，且坐標為（﹣ ， 1）、（ ， ）、（﹣ ， ）、（﹣ ， ）． 點評： 此題主要考查的知識點有：利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、菱形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)等．最后一題容易漏解，一定要根據(jù)菱形頂點排列順序的不同進行分類討論． 24．如圖甲，分別以兩個彼此相鄰的正方形 OABC 與 CDEF 的邊 OC、 OA 所在直線為 x軸、y 軸建立平面直角坐標系（ O、 C、 F 三點在 x軸正半軸上）．若 ⊙ P 過 A、 B、 E三點（圓心在 x軸上），拋物線 y= 經(jīng)過 A、 C 兩點，與 x軸的另一交點為 G， M是 FG 的中點，正方形 CDEF 的面積為 1． （ 1）求 B 點坐標； （ 2）求證： ME 是 ⊙ P 的切線； （ 3）設(shè)直線 AC 與拋物線對稱軸交于 N， Q 點是此對稱軸上不與 N 點重合的一動點， ①求 △ ACQ 周長的最小值； ②若 FQ=t， S△ ACQ=S，直接寫出 S 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式． 考點 ： 二次函數(shù)綜合題． 324259 專題 ： 壓軸題． 分析： （ 1）如圖甲，連接 PE、 PB，設(shè) PC=n，由正方形 CDEF 的面積為 1，可得 CD=CF=1，根據(jù)圓和正方形的對稱性知： OP=PC=n，由 PB=PE，根據(jù)勾股定理即可求得 n 的值，繼而求得 B 的坐標； （ 2）由（ 1） 知 A（ 0， 2）， C（ 2， 0），即可求得拋物線的解析式，然后求得 FM的長，則可得 △ PEF∽△ EMF，則可證得 ∠ PEM=90176。 x． （ 4） Ⅰ 、當點 P 在 x軸上方時； ①點 M 是直角頂點，此時 MP1⊥ x軸，即 M、 P1 的橫坐標相同； 當 x=1 時， y= x= ； 即 P1（ 1， ）； ②當點 P 是直角頂點時，由（ 2）知， P D 重合，即 P2（ ， ）； ③當點 N 是直角頂點，同 ①可求得 P3（ 3， ）． Ⅱ 、當點 P 在 x軸下方時，同 Ⅰ 可知： P4（ 1，﹣ ）， P5（ ，﹣ ）， P6（ 3，﹣ ）． 綜上，在直線 OD 上存在點 P，使 △ MNP 是直角三角形．所求 P 點的坐標為（ 1， 177。 DG=1． ∵ OG=2， ∴∠ DOG=30176。底邊 AB=5，高 AD=3，點 E 由 B沿折線 BCD 向點 D移動， EM⊥ AB 于 M， EN⊥ AD 于 N，設(shè) BM=x，矩形 AMEN 的面積為 y，那么 y 與 x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（ ） A． B． C． D． 考點 ： 動點問題的函數(shù)圖象；二次函數(shù)的圖象． 324259 專題 ： 壓軸題；動點型． 分析： 利用面積列出二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式，利用面積的變化選擇答案． 解答： 解：根據(jù)已知可得：點 E 在未到達 C 之前， y=x（ 5﹣ x） =5x﹣ x2；且 x≤3，當 x從0 變化到 時， y 逐漸變大， 當 x= 時， y 有最大值，當 x從 變化到 3 時， y 逐漸變小， 到達 C 之后， y=3（ 5﹣ x） =15﹣ 3x， x＞ 3， 根據(jù)二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)． 故選： A． 點評： 利用一次函數(shù)和 二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合實際問題于圖象解決問題． 3．如圖，二次函數(shù) y=ax2+bx+c（ a≠0）的圖象與 x軸交于 A、 B 兩點，與 y軸交于點 C，點B 坐標（﹣ 1， 0），下面的四個結(jié)論： ①OA=3； ②a+b+c＜ 0； ③ac＞ 0； ④b2﹣ 4ac＞ 0．其中正確的結(jié)論是（ ） A． ①④ B． ①③ C． ②④ D． ①② 考點 ： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系． 3242599